Визначник: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) м Скасування редагування № 7575807 користувача 95.134.163.61 (обговорення) |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Визначник''' або '''детермінант''' — одна з найважливіших характеристик [[квадратна матриця|квадратних матриць]].
Для квадратної матриці розміру <math>\ n\times n</math> визначник є [[многочлен]]ом [[степінь многочлена|степеня]] <math>\ n</math> від елементів матриці, і
Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності [[перестановка|перестановки]] номерів.
Рядок 11:
Визначник матриці <math>\ A</math> задається формулою:
:<math>\det(A) = |A| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
Рядок 18 ⟶ 17:
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix}
= \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \left(a_{1 \pi(1)} \cdot a_{2 \pi(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n \pi(n)} \right),</math>
де <math>\ \pi</math> — [[перестановка]] множини <math>\ (1,\ldots,n)</math>
Рядок 42 ⟶ 41:
значно меншої кількості арифметичних операцій (<math>O(n^3)</math> замість <math>n!</math>).
== Властивості
# Якщо помножити якийсь рядок на константу <math>\ a,</math> то визначник також помножиться на <math>\ a.</math>▼
# Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
# При додаванні до будь-якого рядка [[лінійна комбінація|лінійної комбінації]] кількох інших рядків визначник не зміниться.
▲# Якщо помножити якийсь рядок на константу <math>\ a,</math> то визначник також помножиться на <math>\ a.</math>
# У матриці з двома однаковими рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
# Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.
# Визначник [[трикутна матриця|трикутної матриці]] дорівнює добутку елементів на [[головна діагональ|діагоналі]].
# [[Теорема Лапласа]]: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм [[алгебраїчне доповнення|алгебраїчні доповнення]].
# Сума добутків елементів деякого рядка на [[алгебраїчне доповнення|алгебраїчні доповнення]] відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
Рядок 58 ⟶ 57:
В [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у [[поле (алгебра)|полі]]. А саме, якщо функція елементів матриці задовільняє 1,2,3, то така функція пропорціональна <math>\det</math>.
== Історія
Одне із найповніших джерел по історії визначників (до початку 20 століття) — це чотирьохтомна▼
Китайський текст «[[Математика в дев'яти книгах]]» (написаний ще до [[наша ера|нашої ери]]) містить приклади використання [[визначник]]а для розв'язання [[система лінійних рівнянь|системи рівнянь]], ще задовго до введення визначників японським математиком [[Такакадзу Секі]] (1683) та німецьким математиком [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцем]] (1693).
▲Одне із найповніших джерел по історії визначників (до початку 20 століття) — це чотирьохтомна хрестоматія ''The theory of determinants in the historical order of development''
by Thomas Muir, New York, Dover Publications, 1960.
Див. [http://name.umdl.umich.edu/ACM9350.0001.001]
Рядок 73 ⟶ 74:
== Дивись також ==
{{Портал математика}}
* [[Теорія матриць]]
* [[Слід матриці]]
* [[Ранг матриці]]
| |||