Кардинальне число: відмінності між версіями

м
робот додав: ar:عدد أصلي; косметичні зміни
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (робот змінив: it:Numero cardinale)
м (робот додав: ar:عدد أصلي; косметичні зміни)
 
Нехай ''A'' і ''B'' нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
# Існує [[взаємно однозначна відповідність]] між ''A'' і ''B'', тобто ''A'' ~ ''B'' і |''A''|=|''B''|.
# Існує [[взаємно однозначна відповідність]] між множиною ''A'' і деякою [[підмножина|власною підмножиною]] ''B''' множини ''B''. Тоді кажуть, що [[потужність множини]] ''A'' не більша від потужності множини ''B'' і записують |''A''|≤|''B''|.
# Множина ''A'' рівнопотужна деякій підмножині множини ''B'' і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто ''A''~''B' '' ⊆ ''B'' і ''B''~''A' '' ⊆ ''A''. За [[теорема Кантора-Бернштейна|теоремою Кантора-Бернштейна]], у цьому випадку виконується ''A'' ~ ''B'', тобто |''A''|=|''B''|.
# Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на [[аксіома вибору|аксіому вибору]], можна довести неможливість четвертого випадку.
 
Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
 
== Числа алеф ==
Кардинальне число множини '''N''' всіх натуральних чисел (а значить, і будь-якої [[зліченна множина|зліченної множини]] позначають через <math>\aleph_0</math> (читається "алеф-нуль"). Кардинальне число [[континуум|континуальних множин]] позначають ''c'' або <math>\aleph_1</math> ("алеф-один"). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають <math>\aleph_1, \aleph_2,\dots</math>. [[Кантор Георг|Г. Кантор]] довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
 
== Гіпотеза континуума ==
[[Континуум-гіпотеза]] стверджує, що не існує множини, кардинальне число <math>\aleph</math> якої розташоване між <math>\aleph_0</math> (кардиналом множини [[натуральне число|натуральних чисел]]) і <math>\aleph_1</math> (кардиналом множини [[дійсне число|дійсних чисел]]), тобто <math>\aleph_0</math> < <math>\aleph</math> < <math>\aleph_1</math>.
 
== Дивись також ==
* [[Потужність множини]]
* [[Арифметика кардиналів]]
* [[Теорема Кантора-Бернштейна]]
* [[Континуум-гіпотеза]]
 
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Математичні терміни]]
 
[[ar:عدد أصلي]]
[[bn:অঙ্কবাচক সংখ্যা]]
[[ca:Nombre cardinal]]
283 583

редагування