Нерівність Коші — Буняковського: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
доповнення |
вікіфікація |
||
Рядок 5:
Знаходить застосування в [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] для [[вектор]]ів, в [[математичний аналіз|математичному аналізі]] для [[ряд (математика)|нескінченних рядів]] та [[інтеграл|інтегрування]] [[добуток|добутків]] та в [[теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] при застосуванні до [[коефіцієнт варіації|варіації]] та [[коваріація|коваріації]].
Нерівність для сум було опубліковано [[Коші Оґюстен-Луї|Оґюстеном Коші]] ([[1821]]) (тому цей випадок називають
== Формулування нерівності ==
Рядок 11:
=== Загальний випадок ===
Для довільних векторів <math>\ x</math>, <math>\ y</math> із [[прегільбертів простір|прегільбертового простору]] виконується наступна нерівність:
: <math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle</math>,
де <math> \langle \cdot, \cdot \rangle</math>
Якщо означити [[нормований простір|норму]], то нерівність можна записати як:
: <math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|</math>.
Причому рівність виконується лише у випадку коли вектори <math>\ x </math>, <math>\ y </math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно залежні]].
Рядок 22:
==== Лінійний простір <math>\ \mathbb{R}^n</math> ====
Скалярний добуток векторів <math>\ x=(x_1,x_2,\ldots x_n)</math> і <math>\ y=(y_1,y_2,\ldots y_n)</math> <math>\ \mathbb{R}^n</math> означимо за формулою
<math> \langle x,y \rangle=\sum\limits_{i=1}^{n} x_iy_i </math>, тоді отримаємо, що
для довільних довільних дійсних
<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).</math>
у заданій формі нерівність Коші-Буняковського часто використовується на [[математична олімпіада|математичних олімпіадах]].
Рядок 34:
==== Лінійний простір <math>\ C[a;b]</math> ====
<math>\ C[a;b]</math>
Скалярний добуток для функцій <math>\ f(x), g(x)\in C[a;b]</math> означимо через
<math> \langle f(x),g(x) \rangle=\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)\,dx </math>, то виконуватиметься нерівність
<math>\left|\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int\limits_{a}^{b} \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\limits_{a}^{b}\left|g(x)\right|^2\,dx.</math>
Рядок 51:
Отже, <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2\ge 0</math>, для всіх <math>\lambda \in \mathbb{R} </math>. Це можливо, тоді і тільки тоді, коли дискримінант <math> 4\langle x,y \rangle - 4\|x\|^2\|y\|^2 </math> [[Квадратне рівняння|квадратного тричлени]] <math>\lambda^2\|y\|^2+2\lambda\langle x,y \rangle + \|x\|^2</math> не більший від нуля, тобто <math> \langle x,y \rangle\le\|x\|^2\|y\|^2</math>. Звідси одержуємо потрібну нерівність.
=== Частковий випадок ===
====
В лінійному просторі
<math> \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \left( x_i y_j - x_j y_i \right)^2
Рядок 72:
<math> \sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \geq 0. </math>
== Найбільш відомі застосування нерівності Коші-Боняковського ==
=== Нерівність трикутника ===
=== Математичні олімпіади ===
== Джерела ==
* {{cite book|
Рядок 86:
city=Москва|
}}
* {{cite book|
title=Математический анализ (функции одного переменного)|
author=Шилов Г. Е.|
| |||