Диференціальна форма: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 11:
=== Інваріантне ===
У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня <math>k</math> — це гладкий [[перетин розшарування|перетин]] <math>k</math>-ого [[зовнішня алгебра|зовнішнього степеня]] [[кодотичне розшарування|кодотичного розшарування]] многовиду.
Нехай ''M'' — гладкий многовид, T<sub>''p''</sub>''M'' — [[дотичний простір]] многовиду ''M'' в точці ''p'', T<sup>*</sup><sub>''p''</sub>''M'' — [[кодотичний простір]] многовиду ''M'' в точці ''p''. Позначимо <math>\Lambda^k (T^*_p M)</math> — [[векторний простір]] знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:
:<math>\beta \colon T_p M\times \cdots \times T_p M \to \mathbb{R}</math>
Тоді диференціальна ''k''-форма <math>\omega</math> це відображення:
:<math>\omega \colon p \to \Lambda^k (T^*_p M)</math>
в довільній точці ''p''∈''M'', при чому
:<math>\omega (p) (V_1(p), \ldots , V_k (p)) \in C^\infty (M, \R),</math>
де <math>V_1(p), \ldots , V_k (p)</math> — довільні гладкі [[векторне поле|векторні поля]].
Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови називають тоді '''гладкими диференціальними формами'''.
=== Через локальні карти ===
Рядок 19 ⟶ 32:
Тому будь-яка зовнішня p - форма а записується в ''U'' у вигляді
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots \wedge dx^{i_k}</math>
де <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> - гладкі функції <math>dx^i</math>
При зміні координат, це подання змінюється.
| |||