Мультиплікативна функція: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 21:
* [[Функція Мебіуса]] <math>\mu(m)</math>.
* Функція <math>\frac{\varphi(m)}{m}</math> є сильно мультиплікативною.
* Степенева функція <math>
**константи <math> \forall n\in\N, 1(n) = 1</math>
**тотожної функції <math>\forall n\in\N, \operatorname{Id}(n) = n</math>
* <math>n\mapsto\left(\frac{n}{p}\right)</math> — [[символ Лежандра]], як функція від ''n'', при заданому простому числі p.
Рядок 31 ⟶ 33:
Більш того, якщо <math>f(m)</math> і <math>g(m)</math> — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх [[згортка Діріхле]]
:: <math>h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)</math>
Це випливає з того, що що довільне число ''d'', що ділить добуток двох взаємно простих чисел ''n'' і ''m'' однозначно записується як ''d''=''d''<sub>1</sub>.''d''<sub>2</sub>, де ''d''<sub>1</sub> — дільник числа ''n'', ''d''<sub>2</sub> — дільник числа ''m''.
ТОді з визначень можна записати
:<math>(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d|nm}f(d)g\left(\frac{nm}{d}\right)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1d_2)g\left(\frac{n}{d_1} \cdot \frac{m}{d_2}\right)</math>.
Якщо ''f'' і ''g'' — мультиплікативні функції то :
:<math>(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\frac{m}{d_2}\right)</math>,
:<math>(f*g)(n.m)=\left[\sum_{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)\right] \cdot \left[\sum_{d_2|m}f(d_2)g\left(\frac{m}{d_2}\right)\right]</math>,
:<math>(f*g)(n \cdot m)=(f*g)(n)\cdot(f*g)(m)</math>.
Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:
:<math>\varepsilon(n) = \begin{cases}1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}
</math>
[[Категорія:Теорія чисел]]▼
== Див. також ==▼
*[[Арифметична функція]]▼
== Література ==
*Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;
▲[[Категорія:Теорія чисел]]
▲== Див. також ==
▲*[[Арифметична функція]]
[[bg:Мултипликативна функция]]
| |||