Алгебраїчні числа: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 38:
* При будь-якому [[натуральне число|натуральному]] <math>n</math>, <math>\sqrt[n]2</math> є алгебраїчним числом <math>n</math>-го степеня.
== Поле алгебраїчних чисел ==
Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють [[поле (алгебра)|поле]], тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α<sup>-1</sup>, а також [[сума]] α + β і [[добуток]] αβ також є алгебраїчними числами.
=== Доведення ===
*Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо ''f(x)'' — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена ''f(−x)''. Тобто -α — алгебраїчне число.
*Якщо α — корінь многочлена <math>f(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^k \in \Z[x],</math> то α<sup>-1</sup> є коренем многочлена <math>g(x) = \sum_{k=1}^n a_{n-k} x^k \in \Z[x],</math> отже α<sup>-1</sup> теж є алгебраїчним числом.
*Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена <math>f(x) \in \Z[x]</math> і β є коренем многочлена <math>g(x) \in \Z[x]</math>. Нехай α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub> — всі корені ''f(x)'' (враховуючи їх кратність, так що степінь ''f(x)'' рівний ''n'') і нехай β<sub>1</sub>= β, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub> — всі корені ''g(x)''. Розглянемо многочлен:
:<math>F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i + \beta_j)).</math>
:Множина <math>R = \Z[\beta_1, \ldots, \beta_m]</math> є комутативним [[кільце (алгебра)|кільцем]]. З [[теорема Вієта|теореми Вієта]] випливає, що коефіцієнти ''F(x)'' є [[симетричний многочлен|симетричними многочленами]] від чисел α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub>. Тому якщо, σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub> — [[симетричний многочлен|елементарні симетричні многочлени]] від α<sub>1</sub>= α, α<sub>2</sub>, ..., α<sub>n</sub> і ''A'' — деякий коефіцієнт (при ''x<sup>k</sup>'') многочлена ''F(x)'', тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, β<sub>1</sub>, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub>) для деякого многочлена ''B'' з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти ''F(x)'' також є симетричними многочленами від чисел β<sub>1</sub>, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub>. Нехай <math>R = \Z[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]</math> і σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>' — елементарні симетричні многочлени від β<sub>1</sub>= β, β<sub>2</sub>, ..., β<sub>m</sub> тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>') для деякого многочлена ''B''' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>n</sub>, σ<sub>1</sub>', σ<sub>2</sub>', ..., σ<sub>m</sub>' є [[раціональні числа|раціональними]] і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому <math>F(x) \in \Q[x]</math> і оскільки α + β є коренем ''F(x)'' це число є алгебраїчним.
*Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:
:<math>F(x) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x - (\alpha_i \beta_j)).</math>
{{Math-stub}}
| |||