Трансцендентне число: відмінності між версіями

Перші трансцендентні числа було сконструйовано [[Ліувілль Жозеф|Ліувіллєм]] за допомогою [[діофантова апроксімація|діофантових наближеннь]]. Незабаром, [[Ерміт Шарль|Ерміт]] довів трансцендентність [[число e|числа e]], a [[Ліндеманн]] — [[число пі|числа пі]]. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок [[теорія множин|теорії множин]] [[Кантор Георг|Кантора]].

 

* [[Множина]] трансцендентних чисел [[континуум|континуальна]].

* Кожне трансцендентне дійсне число є [[ірраціональні числа|ірраціональним]], але зворотне невірно. Наприклад, число <math>\sqrt 2</math> — ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена <math>x^2-2</math>.

 

* Основа натуральних логарифмів [[число e]]

* [[Число пі|Число π]].

* '''sin a''', '''cos a''' і '''tg a''', для будь-якого ненульового алгебpaїчного числа '''а''' (згідно теореми Лінденманна — Вейерштрасса).

 

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Ж. Ліувилль в 1844, коли довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливе доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Ш. Ерміт довів трансцендентність числа '''e''' (основи натуральних логарифмів). У 1882 Ліндеманн довів теорему про трансцендентність степеня числа '''e''' з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа '''π''' і нерозв'язність завдання [[квадратура кола|квадратури кола]].

 

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків [[Гільберт Давид|Д. Гільберт]] в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо а ≠ 0, '''а'''— алгебраїчне числа і '''b''' — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що '''a^b''' — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число <math>2^\sqrt 2</math>. Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом ([[:en:Alexander Gelfond]]), який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

 

* Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

* Фельдман Н., [http://kvant.mccme.ru/1983/07/algebraicheskie_i_transcendent.htm Алгебраические и трансцендентные числа]{{ref-ru}}, Квант, № 7, 1983.

[[it:Numero trascendente]]

[[ja:超越数]]

[[ko:초월수]]

[[la:Numerus transcendens]]