Асимптотичний розклад: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
переписано |
||
Рядок 1:
'''Асимптотичний розклад функції''' f(x) — формальний функційний ряд з властивістю, що сума довільної скінченної кількості членів ряду апроксимує [[функція (математика)|функцію]] ''f(x)'' в околі деякої (можливо безмежної) її [[гранична точка множини|граничної точки]]. Поняття асимптотичного розкладу функції і асимптотичного ряду були введені [[Анрі Пуанкаре]] у зв'язку із задачами [[небесна механіка|небесної механіки]]. Окремі випадки асимптотичного розкладу були відкриті і застосовувалися ще в 18 ст. Асимптотичні розклади і ряди відіграють важливу роль в різних задачах [[математика|математики]], [[механіка|механіки]] і [[фізика|фізики]].
== Визначення ==
Нехай функції <math>\varphi_{n}</math> задовольняють властивість: <math>\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N</math> для деякої граничної точки ''L'' області визначення функції ''f(x)''. Послідовність функцій <math>\varphi_{n}</math>, що задовольняє вказані умови називається ''асимптотичною послідовністю''.
Ряд:
<math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math>
для якого виконуються умови
:<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)</math>
чи еквівалентно:
:<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>
називається ''асимптотичним розкладом'' функції ''f(x)'' або її ''асимптотичним рядом''.
Цей факт позначається:
=== Асимптотичний розклад Ердеї ===
Більш загально визначається ''асимптотичний розклад Ердеї''. Ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math> називається асимптотичним розкладом Ердеї функції ''f(x)'', якщо існує така асимптотична послідовність <math>\psi_{n}</math>,що
:<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>
== Приклади ==
* [[Гамма-функція]]
::<math>\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots
\ (x \rightarrow \infty)</math>
* [[Інтегральна показникова функція]]
::<math>xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty) </math>
* [[Дзета-функція Рімана]]
::<math>\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} +
N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}</math><br /
>де <math>B_{2m}</math> — [[числа Бернуллі]] і <math>s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2)</math> . Цей розклад справедливий для всіх комплексних ''s''.
* [[Функція помилок]]
::<math> \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.</math>
== Література ==
* {{УРЕ}}
* Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
* Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962
* Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975
[[Категорія:Математичний аналіз]]
| |||