Диференціальна форма: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Диференціальна форма''' порядку <math>k</math> або '''<math>k</math>-форма''' - кососиметричне [[тензорне поле]] типу <math>(0,\;k)</math> на [[дотичне розшарування|дотичному розшаруванні]] [[многовид|многовиду]].
Рядок 50 ⟶ 49:
: <math>d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3</math>
* Диференціальну форму можна розглядати як поле [[полілінійна функція|полілінійних]] кососиметричних функцій від <math>k</math> векторів.
*[[теорема Стокса]] - є основою для більшості застосувань диференціальних форм: ▼
:Якщо <math>\omega</math> — ''n''−1-форма з компактним [[носій функції|носієм]] у ''M'' і ∂''M'' границя многовиду ''M'' з індукованою орієнтацією, то виконується рівність: ▼
:<math>\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega.\!\,</math>▼
* Внутрішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому [[Правило Лейбніца|правилу Лейбніца]]. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і [[Похідна Лі|похідною Лі]] ''формулою [[Гомотопія|гомотопії]]'':
Рядок 87 ⟶ 82:
:<math>\frac{\partial(x^{i_1},\dots,x^{i_k})}{\partial(u^{1},\dots,u^{k})}</math> — визначник матриці Якобі.
=== Теорема Стокса ===
▲:Якщо <math>\omega</math> — ''n''−1-форма з компактним [[носій функції|носієм]] у ''M'' і ∂''M'' границя многовиду ''M'' з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:
▲:<math>\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega.\!\,</math>
Частковими випадками цієї загальної теореми є [[основна теорема аналізу]], [[теорема Гауса-Остроградського]], [[теорема Гріна]] і звичайна теорема Стокса про звязок лінійного і поверхневого інтегралів.
== Приклади ==
Рядок 94 ⟶ 98:
*[[Форма об'єму]] - приклад <math>n</math>-форми на <math>n</math>-мірному многовиді.
*[[Симплектична форма]] - замкнута 2-форма <math>\omega</math> на <math>2n</math>-многовиді, така що <math>\omega^n\not=0</math>.
== Див. також ==
*[[Зовнішня алгебра]]
*[[Зовнішній добуток]]
== Література ==
Рядок 104 ⟶ 112:
* Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
* Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
* Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1
[[Категорія:Числення багатьох змінних]]
| |||