Диференціальна форма: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 2:
'''Диференціальна форма''' порядку <math>k</math> або '''<math>k</math>-форма''' - кососиметричне [[тензорне поле]] типу <math>(0,\;k)</math> на [[дотичне розшарування|дотичному розшаруванні]] [[многовид|многовиду]].
Диференціальні форми були введені [[
Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці [[симплектична геометрія|симплектичній геометрії]] [[квантова теорія поля|квантовій теорії поля]].
Рядок 26:
== Пов'язані визначення ==
:* <math>d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>▼
*Диференціальна форма називається '''замкнутою''', якщо її зовнішня похідна рівна 0.
*''k''-форма називається '''точною''', якщо її можна представити як диференціал деякої (''k''-1) -форми.
Рядок 33 ⟶ 31:
*'''Внутрішньою похідною''' форми <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> називається форма
: <math>i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots u_n) = \omega(\mathbf{v} u_1, \dots, u_n)</math>
=== Зовнішній диференціал ===
Лінійне відображення <math>d: \Omega^k(M) \rightarrow \Omega^{k+1}(M)</math> називається зовнішнім диференціалом якщо:
# Для <math>p=0</math> воно співпадає з звичайним диференціалом функції;
У локальних координатах зовнішній диференціал можна записати за допомогою формули:
▲:* <math>d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
== Властивості ==
Рядок 42 ⟶ 49:
: <math>d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3</math>
* Диференціальну форму можна розглядати як поле [[полілінійна функція|полілінійних]] кососиметричних функцій від <math>k</math> векторів.
▲*: <math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
▲* Для будь-якої форми виконується рівність <math>d(d\omega)=0</math>.
*[[теорема Стокса]] - є основою для більшості застосувань диференціальних форм.
* Внутрішнє диференціювання лінійно і задовольняє градуйованому [[Правило Лейбніца|правилу Лейбніца]]. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і [[Похідна Лі|похідною Лі]] ''формулою [[Гомотопія|гомотопії]]'':
| |||