Вікіпедія

Ріманова поверхня: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
мНемає опису редагування
Рядок 1:
[[Файл:Riemann sqrt.jpg|міні|200пкс|Ріманова поверхня ƒ(z) = √z]]
 
'''Ріманова поверхня''' — традиційна в [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] назва 1-вимірного комплексного [[Многовид|многовидумноговид]]у. Такі поверхні почав систематично вивчати [[Бернгард Ріман]]. Прикладами ріманових поверхонь є [[Комплексне число|комплексна площина]] і [[сфера Рімана]].
 
== Визначення ==
Зв'язний [[гаусдорфів простір|гаусдорфів топологічний простір]] ''R'' називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати [[покриття множини|покриття]] [[відкрита множина|відкритими множинами]] <math>(U_\alpha)_{\alpha \in A} </math> причому кожній множині <math>\ U_\alpha</math> відповідає [[гомеоморфізм|гомеоморфне відображення]] <math>\varphi_\alpha</math> із множини <math>\ U_\alpha</math> у деяку відкриту [[підмножина|підмножину]] комплексної площини, причому якщо [[перетин множин|перетин]] <math>\ U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> є [[непорожня множина|непустою множиною]], то функція:
: <math>\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math>, <math>\quad \varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.</math> ▼
покриття [[відкрита множина|відкритими множинами]] <math>(U_\alpha)_{\alpha \in A} </math> причому кожній множині <math>(U_\alpha)</math> відповідає [[гомеоморфізм|гомеоморфне відображення]] <math>\varphi_\alpha</math> із множини <math>(U_\alpha)</math> у деяку відкриту підмножину множини [[комплексне число|комплексних чисел]], причому якщо [[перетин множин|перетин]] <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> є непустою множиною, то функція:
є [[голоморфна функція|голоморфною]]. Множина <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha \in A}</math> при цьому називається атласом, а її елементи картами.▼
▲: <math>\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math>, <math>\varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.</math>
Якщо даний топологічний простір є також [[компактний паростірпростір|компактним]], то ріманова поверхня називається ''компактною'' або ''замкнутою''▼
▲є голоморфною. Множина <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha \in A}</math> при цьому називається атласом, а її елементи картами.
▲Якщо даний топологічний простір є також [[компактний паростір|компактним]], то ріманова поверхня називається ''компактною'' або ''замкнутою''
 
== Приклади ==
 
[[ImageФайл:Riemann sphere1.jpg|thumb|left|150px|TheСфера Riemann sphereРімана.]]
*TКомплекснаКомплексна площина <math>\C</math> є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення <math>\varphi (z) = z</math> визначає карту на множині <math>\C</math>, і <math>\C, \varphi</math> є необхідним атласом. Відображення <math>\varphi (z) = \overline{z}</math> ([[комплексне спряження]]) також визначає атлас на <math>\C</math>. Дані атласи не є еквівалентними.
 
*Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.
 
*Нехай <math>S\widehat{\C} = \C \cup \{ \infty \}</math>, і\; <math>\varphi_1 (z) = z</math> де <math>z \in S\widehat{\C} \setminus \{ \infty \}</math> і <math>\varphi_1varphi_2 (z) = \frac{1}{z}</math> де <math>z \in S\widehat{\C} \setminus \{0\}</math>. Тоді <math>\varphi_1, \varphi_2</math> із своїми [[область визначення|областями визначення]] визначають атлас. Множина ''S''<math>\widehat{\C}</math> з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.
 
[[ImageФайл:Torus.png|right|thumb|150px|Тор]]
*Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад [[тор]] <math>\C / (\Z \oplus \tau Z''')</math>, де '''τ''' комплексне число, що не є дійсним, відповідає через [[еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичну функцію Вейєрштрасса]] деякій [[еліптична крива|еліптичній кривій]].
*Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають [[аналітичне продовження|аналітичні продовження]].
Рядок 35 ⟶ 34:
 
== Література ==
 
*Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
*Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8
 
{{Math-stub}}
 
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Ріманова_поверхня