Ріманова поверхня: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
D'ohBot (обговорення | внесок) м робот додав: bg:Риманова повърхнина |
Немає опису редагування |
||
Рядок 3:
'''Ріманова поверхня''' — традиційна в [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] назва 1-вимірного комплексного [[Многовид|многовиду]]. Такі поверхні почав систематично вивчати [[Бернгард Ріман]]. Прикладами ріманових поверхонь є [[Комплексне число|комплексна площина]] і [[сфера Рімана]].
== Визначення ==
Зв'язний [[гаусдорфів простір|гаусдорфів топологічний простір]] ''R'' називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати
покриття [[відкрита множина|відкритими множинами]] <math>(U_\alpha)_{\alpha \in A} </math> причому кожній множині <math>(U_\alpha)</math> відповідає [[гомеоморфізм|гомеоморфне відображення]] <math>\varphi_\alpha</math> із множини <math>(U_\alpha)</math> у деяку відкриту підмножину множини [[комплексне число|комплексних чисел]], причому якщо [[перетин множин|перетин]] <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta}</math> є непустою множиною, то функція:
: <math>\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})</math>, <math>\varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.</math>
є голоморфною. Множина <math>(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})_{\alpha \in A}</math> при цьому називається атласом, а її елементи картами.
Якщо даний топологічний простір є також [[компактний паростір|компактним]], то ріманова поверхня називається ''компактною'' або ''замкнутою''
== Приклади ==
[[Image:Riemann sphere1.jpg|thumb|left|150px|The Riemann sphere.]]
*TКомплексна площина <math>\C</math> є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення <math>\varphi (z) = z</math> визначає карту на множині <math>\C</math>, і <math>\C, \varphi</math> є необхідним атласом. Відображення <math>\varphi (z) = \overline{z}</math> (комплексне спряження) також визначає атлас на <math>\C</math>. Дані атласи не є еквівалентними.
*Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.
*Нехай <math>S = \C \cup \{ \infty \}</math> і <math>\varphi_1 (z) = z</math> де <math>z \in S \setminus \{ \infty \}</math> і <math>\varphi_1 (z) = \frac{1}{z}</math> де <math>z \in S \setminus \{0\}</math>. Тоді <math>\varphi_1, \varphi_2</math> із своїми областями визначення визначають атлас. Множина ''S'' з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.
[[Image:Torus.png|right|thumb|150px|Тор]]
*Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад [[тор]] <math>\C / (\Z \oplus \tau Z''')</math>, де '''τ''' комплексне число, що не є дійсним, відповідає через [[еліптичні функції Вейєрштрасса|еліптичну функцію Вейєрштрасса]] деякій [[еліптична крива|еліптичній кривій]].
*Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають [[аналітичне продовження|аналітичні продовження]].
<gallery>
File:Riemann surface arcsin.jpg|<math>f(z)=\arcsin z,\!</math>
File:Riemann surface log.jpg|<math>f(z)=\log z,\!</math>
File:Riemann surface sqrt.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{2}}</math>
File:Riemann surface cube root.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{3}}</math>
File:Riemann surface 4th root.jpg|<math>f(z)=z^{\frac{1}{4}}</math>
</gallery>
== Див. також ==
*[[Многовид]]
*[[Теорема Рімана — Роха]]
== Література ==
*Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
*Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8
{{Math-stub}}
[[Категорія:Математика]]
| |||