Область цілісності: відмінності між версіями

'''Область цілісності'''  -— поняття [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]: [[асоціативність|асоціативне]] [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[одиниця|одиницею]], в якому 0≠1 і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова 0≠1 виключає з розгляду тривіальне кільце {0}.

* Простий приклад області цілісності - кільце [[цілі числа|цілих чисел]] <math>\mathbb Z</math>.

* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\mathbb{Z}[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\mathbb{R}[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.

* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\mathbb{R}</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі.

* Нехай <math>U</math> - [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\mathbb{C}</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f:U\rightarrow\mathbb{C}</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид|многовиду]]у.

Ненульовий необоротний елемент <math>p</math> називається ''простим'', якщо з того, що <math>p\mid ab</math>, слідує <math>p\mid a</math> або <math>p\mid b</math>. Це визначення узагальнює поняття [[просте число|простого числа]] в кільці <math>\mathbb{Z}</math>, проте враховує і негативні прості числа. Якщо <math>p</math>&nbsp;- [[простий елемент]] кільця, то породжуваний ним [[головний ідеал]] <math>(p)</math> буде простим. Будь-який простий елемент є незвідним, але зворотне вірно не у всіх областях цілісності.