Критерій Ейзенштейна: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м вікіфікація |
Немає опису редагування |
||
Рядок 29:
* Многочлен <math>f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...1</math> є незвідним в <math>\mathbb Q</math> . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен <math>f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+{C_p}^1x^{p-2}+...{C_p}^{p-1}</math>, а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є [[біноміальний коефіцієнт|біноміальними]], тобто діляться на <math>p</math> <math>p|{C_p}^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}</math>, а останній коефіцієнт <math>{C_p}^{p-1}=p</math> до того ж не ділиться на <math>p^2,</math> то згідно критерію Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
* Многочлен <math>x^3+4</math> над '''Q''' є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це <math>p=2</math>, але 4 ділиться на <math>2^2</math> — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.
== Узагальнення ==
Нехай ''D'' — [[факторіальне кільце]] і <math>f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i</math> — многочлен над ''D''.
Нехай ''P'' ⊆ ''D'' — [[простий ідеал]], такий що:
* ''a''<sub>''i''</sub> ∈ ''P'' для ''i'' ≠ ''n'',
* ''a''<sub>''n''</sub> ∉ ''P'',
* ''a''<sub>0</sub> ∉ ''P''<sup>2</sup> (де ''P''<sup>2</sup> добуток ідеалу).
Тоді ''f''(''x'') є незвідним в ''F''[''x''], де ''F'' — [[поле часток]] ''D''.
== Посилання ==
[http://planetmath.org/encyclopedia/EisensteinCriterion.html Критерій Ейзенштейна] на сайті PlanetMath.
[[Категорія:Многочлени]]
| |||