Мішаний добуток: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Uaply (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 8:
* Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
: <math> (\ \mathbf a, \ \mathbf b, \ \mathbf c) = (\ \mathbf b, \ \mathbf c, \ \mathbf a) = (\ \mathbf c, \ \mathbf a, \ \mathbf b) =- (\ \mathbf b, \ \mathbf a, \ \mathbf c) =- (\ \mathbf c, \ \mathbf b, \ \mathbf a) =- (\ \mathbf a, \ \mathbf c, \ \mathbf b);</math>
: т. тобто [[перестановка]] будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що
: <math>\ \lang \ \mathbf a, [\ \mathbf b, \ \mathbf c]\ \rang = \ \lang [\ \mathbf a, \ \mathbf b], \ \mathbf c\ \rang</math>
* Змішаний добуток <math> (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) </math> в правій декартовій системі координат (в [[Ортонормований базис|ортонормованому базисі]]) дорівнює [[визначник]]у [[Матриця (математика)|матриці]], складеної з векторів <math> \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}</math> та <math>\ \mathbf{c}</math>:
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
* Змішаний добуток<math> (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) </math> в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює [[визначник]]у [[Матриця (математика)|матриці]], складеної з векторів <math> \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}</math> та <math>\ \mathbf{c}</math>, взятому зі знаком «мінус»:
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
: зокрема,
* Якщо якісь два вектори [[Колінеарність|колінеарні]], то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
* Якщо три вектори [[лінійно незалежні вектори|лінійно залежні]] (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
* Геометричний сенс — мішаний добуток <math> (\ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}, \ \mathbf{c}) </math> за абсолютним значенням дорівнює об'єму [[паралелепіпед|паралелепіпеда]] (див. малюнок), утвореного векторами <math> \ \mathbf{a}, \ \mathbf{b}</math> та <math>\ \mathbf{c}</math>; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
| |||