Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 148:
== Властивості ==
Тут описуються властивості псевдодиференціальних операторів для найпростішого класу символів <math>S^m</math>. Більшість властивостей мають узагальнення для більш широких класів.
Композиція ''PQ'' двох псевдодиференціальних операторів ''P'', ''Q'' є знову псевдодиференціальним оператором і символ ''PQ'' можна обчислити за допомогою символів ''P'' і ''Q''. Спряжений і транспонований оператори до псевдодиференціального оператора є псевдодиференціальними операторами.▼
* Якщо для двох символів ''P<sub>1</sub>''(''x'',ξ) і ''P<sub>2</sub>''(''x'',ξ) відповідні їм псевдодиференціальні оператори є рівними, то і ''P<sub>1</sub>''(''x'',ξ) = ''P<sub>2</sub>''(''x'',ξ).
Якщо диференціальний оператор порядку ''m'' є рівномірно еліптичним (порядку ''m'') і оборотним, його обернений оператор є псевдодиференціальним оператором порядку −''m''. Це означає, що лінійні еліптичні диференціальні рівняння можна явно розв'язувати за допомогою псевдодиференціальних операторів.▼
* Образом [[Простір Шварца|функції Шварца]] при дії псевдодиференціального операора є функція Шварца.
* Нехай <math>m_j, \ j=0,1,2,\ldots</math> є строго спадною послідовністю дійсних чисел і <math>\lim_{j \to \infty} m_j = - \infty.</math> Якщо символи <math>P_j \in S^{m_j}</math> то існує символ <math>P \in S^{m_0}</math>, для якого <math>P \sim \sum_{j=0}^\infty P_j. </math> Цей вираз означає, що для кожного <math>n \in \N</math> виконується <math>P - \sum_{j=0}^{n-1} P_j \in S^{m_n}. </math> Ряд <math>\sum_{j=0}^\infty P_j </math> часткові суми якого задовольняють вказані умови називається '''асимптотичним розкдадом''' символа <math>P. </math> Якщо символи <math>P </math> і <math>Q </math> мають однаковий асимптотичний розклад, то <math>P - Q \in \bigcap_{m \in \R} S^m.</math> Асимптотичні розклади символів мають важливе значення у теорії псевдодиференціальних операторів
▲* Композиція ''PQ'' двох псевдодиференціальних операторів ''P'', ''Q'' є знову псевдодиференціальним оператором і символ ''PQ'' можна обчислити за допомогою символів ''P'' і ''Q''
* Спряжений і транспонований оператори до псевдодиференціального оператора є псевдодиференціальними операторами.
▲* Якщо диференціальний оператор порядку ''m'' є рівномірно еліптичним (порядку ''m'') і оборотним, його обернений оператор є псевдодиференціальним оператором порядку −''m''. Це означає, що лінійні еліптичні диференціальні рівняння можна явно розв'язувати за допомогою псевдодиференціальних операторів.
Диференціальні оператори є ''локальними'' у розумінні, що для одержання результату дії оператора необхідні значення функції лише у околі точки. Псевдодиференціальні оператори є ''псевдолокальними'', що неформально означає, що при застосуванні до узагальнених функцій вони не утворюють сингулярностей у точках де узагальнена функція уже була гладкою.▼
▲* Диференціальні оператори є ''локальними'' у розумінні, що для одержання результату дії оператора необхідні значення функції лише у околі точки. Псевдодиференціальні оператори є ''псевдолокальними'', що неформально означає, що при застосуванні до узагальнених функцій вони не утворюють сингулярностей у точках де узагальнена функція уже була гладкою.
== Див. також ==
| |||