|
Цифри це короче така пізда що нею сі рахує от і всьо
'''Ци́фри''' (від [[Арабська мова|арабського]] «сифр» («нуль»)) — [[знак]]и для запису [[число|чисел]]. Цифра це єдиний окремий символ (такий як "2" або "5") що використовується самостійно, або у комбінації з іншими (такій як "25"), для представлення [[число|чисел]] відповідно до правил деякої [[Позиційні системи числення|позиційної]] [[Система числення|системи числення]]. Слово «цифра» без уточнення зазвичай означає один з таких знаків: '''0 1 2 3 4 5 6 7 8 9''' (так звані «[[арабські цифри]]»). Існують також багато інших варіантів: [[римські цифри]] ('''I V X L C D M'''), [[Шістнадцяткова система числення|шістнадцяткові цифри]] ('''0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F'''), у деяких мовах, наприклад, в [[іврит]]і, в [[Давньогрецька мова|давньогрецькій]] та [[Церковнослов'янська мова|церковнослов'янській]] мовах, існує система запису чисел буквами.
Тільки у множині слово «цифри» також може означати числові дані. Наприклад, «подамо такі цифри», «цифри середнього значення» (навіть коли йдеться про одне число, вживають множину).
==Огляд==
У типовій цифровій системі, [[Система числення|число]] представляє собою послідовність цифр, і можуть мати довільну довжину. Кожна позиція в такій послідовності має [[Позиційні системи числення|знакомісце]], а кожна цифра має значення. Значення числа розраховується шляхом множення кожної цифри у послідовності на значення, що відповідає знакомісцю і сумуванням результатів.
===Значення цифр===
Кожна цифра в системи чисел представляє ціле значення. Наприклад, у [[Десяткова система числення|десятковій]] системі цифра "1" задає ціле число [[1 (число)|один]], а у [[Шістнадцяткова система числення|шістнадцятковій]] системі, літера "A" задає число [[10 (число)|десять]]. [[Позиційні системи числення]] мають мати цифри, що задають цілі значення від [[0 (число)|нуля]] до значення її [[Основа системи числення|основи]], але не включаючи його.
Таким чином, у позиційній десятковій системі, числа від 0 до 9 можна записати відповідними їм цифрами від "0" до "9", де цифра, що записана крайньою праворуч буде знаходитися на позиції, що задає значення "одиниць". Число 12 можна задати цифрою "2" що знаходиться в одиничній позиції, і цифрою "1" в позиції "десятків", ліворуч від "2", а число 312 можна задати трьома цифрами: "3" у позиції "сотень", "1" у позиції "десятків" і "2" у позиції "одиниць".
У [[Індо-арабська система числення|Індійсько-арабська система чисел]] використовують [[десятковий розділювач]], що в деяких регіональних традиціях, наприклад в Англії є [[Крапка|крапкою]], або в Європі і Україні це [[Кома (розділовий знак)|кома]], для розділення цілої частини і дробової, що позначає знакомісце для одиниць. Кожне знакомісце ліворуч від коми матиме значення аналогічне, як описано вище для звичайного числа де значення цифри множиться на [[Основа системи числення|основу системи числення]]. Аналогічно, кожне наступне значення з правої частини після розділювача буде ділитися на значення основи. Наприклад, для числа '''10,34''' (представленого у десятковій системі),
:'''0''' знаходиться одразу ліворуч від розділювача, тобто він знаходиться на знакомісці одиниць;
:'''1''' ліворуч від одиниць це десятки;
:'''3''' праворуч від розділювача і ліворуч від одиниць, тому його аналогічно називають місцем, де задаються десяті долі від цілого значення;
:'''4''' праворуч від десятих, це соті, тобто ''соте число'' дробної частини.
Загальне значення числа становить 1 десяток, 0 одиниць, 3 десятих, і 4 сотих. Варто відмітити, що нуль, який не задає ніякого значення числа, необхідний аби зазначити, що цифра 1 знаходиться на місті десяток, а не на знакомісці одиниць.
Значення будь-якої цифри в заданій позиції, що знаходиться в числі можна отримати за допомогою просто розрахунку, який залежить від системи числення. Розрахунок здійснюється шляхом множення даної цифри на базис системи піднесений у степінь {{nowrap|''n'' − 1}}, де ''n'' це позиція цифри відносно розділювача; значення ''n'' є додатнім (+), але це лише для тих цифр, що знаходяться ліворуч від розділювача. Цифри, що знаходяться праворуч, помножуються на базис піднесений до негативного ступеня (−) ''n''. Наприклад, для числа '''10,34''' (що задане у десятковій позиційній системі із базисом 10),
:цифра '''1''' є другою ліворуч від розділювача, тому її значення розраховується наступним чином,
:<math>n - 1 = 2 - 1 = 1</math>
:<math>1 \times 10^1 = 10</math>
:'''4''' є другою цифрою праворуч від розділювача, тому її значення розраховується наступним чином,
:<math>n = -2</math>
:<math>4 \times 10^{-2} = \frac{4}{100}</math>
==Історія==
===Історія стародавніх цифр===
Допоміжні засоби для рахування, особливо із застосування частин тіла (рахування на пальцях), звичайно використовувався в доісторичні часи як і сьогодні. Існувало багато варіацій. Крім рахування за допомогою десяти пальців, в деяких культурах рахували фаланги, суглоби і пальці на ногах також. У культурі {{нп|Оксапмин||en|Oksapmin}}, що у Новій Гвінеї існує система із 27 різними позиціями верхньої частини тіла для представлення цифр.
Для того, щоб якось записувати числову інформацію, із доісторичних часів використовувалися [[Зарубка|зарубки]] на дереві, кістках і камінні. Культури кам'яного віку, включаючи стародавніх [[Індіанці|індіанців Америки]], використовували зарубки для азартних ігор, особистих підрахунків і торгівлі.
Метод записування інформації на глині був винайдений [[Шумер]]ами між 8000 і 3500 рр до н. е. Вони робили не великі глиняні знаки різної форми, які нанизувалися як бісер на нитку. Починаючи з 3500 р. до н. е., глиняні фігурки були замінені цифровими знаками вдавленими круглим стилусом під різними кутами на глиняних дощечках, які потім запікали. Згодом близько 3100 р. до н. е., письмові цифри перестали пов'язуватися із речами які підраховуються і почали використовуватися як абстрактні числа.
Між 2700 і 2000 р. до н. е., у Шумерів, круглий стилус поступово замінили на загострений, який використовувався для витискання клиноподібних знаків на глині. Ці клиноподібні знаки цифр нагадували круглі знаки, які вони замінили і зберегли принцип додавання круглих числових знаків. Ця система поступово перетворилися на загальну [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткову]] систему числення; і це була позиційна система цифр, що складалася із лише двох символів: вертикального клина і шеврона, в якій також можна було записувати дріб. Ця шістдесяткова система числення набула повного розвитку у початок періоду Старого Вавилону (приблизно 1950 до н. е.) і стала стандартною у Вавілонії.
Шістдесяткові цифри мали змішану основу. До 1950 до н. е., ця система стала [[Позиційні системи числення|позиційною системою]]. Шістдесятирічні цифри почали широко використовувати в торгівлі, а також у астрономічних і інших розрахунках. Ця система широко розповсюдилася із Вавілонії і почала використовуватися по всій Месопотамії, та згодом у кожному середземноморському краї використовували стандартні вавилонські одиниці вимірювання і підрахунку, включаючи Грецію, Рим і Єгипет. Вавилонський стиль шістдесяткової нотації досі використовується в сучасному світі для вимірювання [[час]]у (хвилин на годину) і [[кут]]ів (градуси).
=== Зародження сучасної позиційної системи числення===
Першою справжньою письмовою [[Позиційні системи числення|позиційною системою числення]] вважається була [[Індо-арабська система числення|Індійсько-арабська система чисел]]. Ця система була створена у 7-му столітті в Індії,<ref name="O'Connor and Robertson">O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_numerals.html Arabic Numerals]. January 2001. Retrieved on 2007-02-20.</ref> але ще не мала її сучасної форми, оскільки використання цифри [[0 (число)|нуль]], ще не було загальноприйнятим. Замість нуля, на знакомісці залишали точку. Перше загально визнане використання нуля було уже в 876 р.. Тодішні первотворені цифри буде дуже схожі на сучасні, навіть [[Гліфg|гліфи]] що використовувалися для зображення цифр.<ref name="O'Connor and Robertson"/>
До часів 13-го століття, [[Індо-арабська система числення|Індо-арабські цифри]] були прийняті в колах Європейських математиків ([[Фібоначчі]] використовував їх у своїй ''[[Книга абака|Книзі абака]]''). У загальне користування вони почали входити у 15-му столітті. До кінця 20-го століття практично усі обчислення (не комп'ютеризовані) здійснювалися з використанням арабських цифр, які замінили собою національні цифрові системи більшості культур.
=== Інші історичні системи числення, що використовували цифри ===
[[Файл:Maya numerals.png|thumb|right|200px|Цифри числової системи мови [[майя]] (цифрами є 0 — 19, решта — записані ними числа)]]
Точний вік [[Система числення майя|Системи числення Майя]] не відомий, але можливо, що вона була старшою за Індійсько-арабську систему. Ця система була {{нп|Двадцяткова система числення|двадцятковою|en|vigesimal}} (із основою 20), тому вона мала 20 цифр. Цифрові знаки, які утворювали [[число]], вони записували вертикально, знизу до верху. Оскільки [[система числення]] була двадцятковою, то кожна цифра наступної вищої позиції, або порядку, була в двадцять разів більшою від своєї сусідки з нижчої позиції. Якби майя користувалися [[Десяткова система числення|десятковою системою]], ця цифра була б більшою не в двадцять разів, а тільки вдесятеро. На першій позиції (лінійці) стояли одиниці, на другій — двадцятки і т. д. [[Майя (народ)|Майя]] використовували особливий пустий символ для представлення нуля. Вони не мали еквіваленту сучасному [[Десятковий розділювач|десятковому розділювачу]], тому в їхній системі не можна було представити дрібні числа.
{{нп|Тайські цифри|Тайська система числення|en|Thai numerals}} є ідентичною до Індійсько-арабської системи числення за виключенням символів, які використовувалися для написання цифр. Викорисатання цих цифр стало менш поширеним у [[Таїланд]]і ніж це було колись, але вони досі використовуються разом із Індійсько-арабськими числами.
Цифри у вигляді паличок, що були письмовою формою [[Рахункові палички|рахункових паличок]], що колись використовувалися в [[Китайська Народна Республіка|Китайській]] та [[Японія|Японській]] математиці, були десятковою позиційною системою, в якій можна було представляти не лише нуль а і від'ємні числа. Рахункові палички самі по собі існували раніше ніж Індійсько-арабська система.[[Китайські цифри|Цифри Сучжоу]] є також варіантом цифр у вигляді паличок.
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
|+ Паличкові цифри (вертикальні)
|-
! style="width:50px" | 0
! style="width:50px" | 1
! style="width:50px" | 2
! style="width:50px" | 3
! style="width:50px" | 4
! style="width:50px" | 5
! style="width:50px" | 6
! style="width:50px" | 7
! style="width:50px" | 8
! style="width:50px" | 9
|-
| [[Файл:Counting rod 0.png]]
| [[Файл:Counting rod v1.png]]
| [[Файл:Counting rod v2.png]]
| [[Файл:Counting rod v3.png]]
| [[Файл:Counting rod v4.png]]
| [[Файл:Counting rod v5.png]]
| [[Файл:Counting rod v6.png]]
| [[Файл:Counting rod v7.png]]
| [[Файл:Counting rod v8.png]]
| [[Файл:Counting rod v9.png]]
|-
! style="width:50px" | –0
! style="width:50px" | –1
! style="width:50px" | –2
! style="width:50px" | –3
! style="width:50px" | –4
! style="width:50px" | –5
! style="width:50px" | –6
! style="width:50px" | –7
! style="width:50px" | –8
! style="width:50px" | –9
|-
| [[Файл:Counting rod -0.png]]
| [[Файл:Counting rod v-1.png]]
| [[Файл:Counting rod v-2.png]]
| [[Файл:Counting rod v-3.png]]
| [[Файл:Counting rod v-4.png]]
| [[Файл:Counting rod v-5.png]]
| [[Файл:Counting rod v-6.png]]
| [[Файл:Counting rod v-7.png]]
| [[Файл:Counting rod v-8.png]]
| [[Файл:Counting rod v-9.png]]
|}
===Старослов'янська система числення===
{{main|Старослов'янська система числення}}
[[Файл:Kirilica-cifri.jpg|right|thumb|300px|Приклади запису чисел кирилицею]]
У старослов'янській системі числення, до появи сучасних цифр для позначення числових значень використовувалися літери алфавіту. Для того, щоб позначити що якийсь запис із літер, який задає число, зазвичай над кожною літерою або над усією послідовністю літер, що записувала число буквами, ставився особливий знак – [[титло]]. Тисячі і сотні позначалися окремим знаком. Така система запису була позиційною і десятковою, де цифри записувалися в тому порядку в якому число читалося. <ref>[https://books.google.com.ua/books?id=RwcpCgAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false "Українське небо: Студії над історією астрономії в Україні"], Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, ред. О. Петрука, Львів 2014.</ref>
== Національні варіанти арабсько-індійських десяткових цифр ==
{| class=wikitable
|- style="font-family:monospace; font-size: small"
! A !! B !! C !! D
! E !! F !! G !! H
! I !! J !! K !! L
! M !! N !! O !! P
! Q !! R !! S !! T
|-
| 0 || ٠ || ۰ || ० || ০ || ੦ || ૦ || ୦ || ௦ || ౦ || ೦ || ൦ || ๐ || ໐ || ༠ || ၀ || ០ || ᠐ || ᥆ || ᧐
|-
| 1 || ١ || ۱ || १ || ১ || ੧ || ૧ || ୧ || ௧ || ౧ || ೧ || ൧ || ๑ || ໑ || ༡ || ၁ || ១ || ᠑ || ᥇ || ᧑
|-
| 2 || ٢ || ۲ || २ || ২ || ੨ || ૨ || ୨ || ௨ || ౨ || ೨ || ൨ || ๒ || ໒ || ༢ || ၂ || ២ || ᠒ || ᥈ || ᧒
|-
| 3 || ٣ || ۳ || ३ || ৩ || ੩ || ૩ || ୩ || ௩ || ౩ || ೩ || ൩ || ๓ || ໓ || ༣ || ၃ || ៣ || ᠓ || ᥉ || ᧓
|-
| 4 || ٤ || ۴ || ४ || ৪ || ੪ || ૪ || ୪ || ௪ || ౪ || ೪ || ൪ || ๔ || ໔ || ༤ || ၄ || ៤ || ᠔ || ᥊ || ᧔
|-
| 5 || ٥ || ۵ || ५ || ৫ || ੫ || ૫ || ୫ || ௫ || ౫ || ೫ || ൫ || ๕ || ໕ || ༥ || ၅ || ៥ || ᠕ || ᥋ || ᧕
|-
| 6 || ٦ || ۶ || ६ || ৬ || ੬ || ૬ || ୬ || ௬ || ౬ || ೬ || ൬ || ๖ || ໖ || ༦ || ၆ || ៦ || ᠖ || ᥌ || ᧖
|-
| 7 || ٧ || ۷ || ७ || ৭ || ੭ || ૭ || ୭ || ௭ || ౭ || ೭ || ൭ || ๗ || ໗ || ༧ || ၇ || ៧ || ᠗ || ᥍ || ᧗
|-
| 8 || ٨ || ۸ || ८ || ৮ || ੮ || ૮ || ୮ || ௮ || ౮ || ೮ || ൮ || ๘ || ໘ || ༨ || ၈ || ៨ || ᠘ || ᥎ || ᧘
|-
| 9 || ٩ || ۹ || ९ || ৯ || ੯ || ૯ || ୯ || ௯ || ౯ || ೯ || ൯ || ๙ || ໙ || ༩ || ၉ || ៩ || ᠙ || ᥏ || ᧙
|}
A — стандартні європейські, B — арабські, C — східно—арабські, D — [[деванагарі]], E — [[бенгальське письмо|бенгальскі]], F — [[ґурмукхі]], G — [[гуджараті]], H — [[орія]], I — тамільскі, J — [[телугу]], K — [[каннада]], L — малаялі, M — [[тайське письмо|тайські]], N — [[лаоське письмо|лаоські]], O — [[Тибетське письмо|тибетські]], Р — [[бірманське письмо|бірманські]], Q — [[кхмерське письмо|кхмерскі]], R — [[монгольське письмо|монгольські]], S — лімбу, T — new tai lue
== Цифри у математиці ==
Не зважаючи на значну роль цифр у описання чисел, вони відносно не є важливими у сучасній [[Математика|математиці]]. Тим не менш, існує декілька важливих математичних понять, які використовують форму представлення числа як послідовність цифр.
=== Цифрові корені ===
{{main|Цифровий корінь}}
Цифровий корінь, це однозначне число, що отримується шляхом сумування усіх цифр заданого числа, потім сумуванням цифр отриманого результату, і так далі доки не залишиться одна єдина цифра в результаті.
=== Порівнювання за модулем (основою) дев'ять ===
{{нп|порівнювання за модулем (основою) дев'ять|Порівнювання за основою дев'ять|en|Casting out nines}} це процедура, що дозволяє перевірити правильність виконаної арифметичної дії. Аби описати його, нехай <math>f(x)</math> представляє собою функцію, що розраховує [[цифровий корінь]] числа <math>x</math>, як описано вище. Даний метод використовує правило, що якщо <math>A + B = C</math>, тоді <math>f(f(A) + f(B)) = f(C)</math>. У процесі порівняння за модулем дев'ять, розраховуються обидві частини [[рівняння]], і якщо вони не є рівними, тоді додавання було виконане не вірно.
=== Реп'юніти і репцифри ===
{{main|Реп'юніти}}
Реп'юніти це цілі числа, що представлені однією цифрою 1. Наприклад, 1111 (одна тисяча сто одинадцять) є реп'юнітом. {{нп|Репцифри||en|Repdigit}} є узагальненим поняттям для реп'юнітів; це такі цілі числа, що представлені однією однаковою цифрою. Наприклад, 333 є репцифрою. Основний інтерес, який для математиків складають реп'юніти це [[Просте число|прості числа]] .<ref>{{MathWorld|urlname=Repunit|title=Repunit}}</ref>
== Див. також ==
* [[Число]]
== Примітки ==
{{reflist}}
{{math-stub}}
[[Категорія:Цифри|*]]
| 