Вікіпедія

Комплексне число: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Bogdbanderov (обговорення | внесок)
61 редагування
Немає опису редагування
вікіфікація
Рядок 1:
[[FileФайл:Complex number illustration.svg|thumb|right|Комплексне число можна представити парою чисел {{math|(''a'', ''b'')}}, що утворюють вектор на діаграмі, яка називається [[Комплексна площина|Діаграма Арганда]], що зображає [[Комплексна площина|комплексну площину]]. "«Re" »&nbsp;— вісь дійсних чисел, "«Im" »&nbsp;— вісь уявних чисел, а {{math|''i''}} задовольняє умові {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
 
'''Ко́мпле́ксні чи́сла'''&nbsp;— [[розширення поля|розширення]] [[поле (алгебра)|поля]] [[Дійсне число|дійсних чисел]], зазвичай позначається <math>\Complex</math>.
Рядок 11:
* <math>(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');</math>
* <math>(x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').</math>
Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду <math>(x,\;0)</math>, причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль зображується парою <math>0=(0,\;0)</math>, одиниця &nbsp;— <math>1=(1,\;0)</math>, а уявна одиниця &nbsp;— <math>i=(0,\;1)</math>. На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює <math>(-1,\;0)</math>, тобто <math>-1</math>.
 
Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.
Рядок 104:
 
== Зміст комплексних чисел ==
 
=== Геометричний зміст ===
[[Файл:Complex number.jpg|thumb|200px|right|Геометрична інтерпретація комплексних чисел.]]
Рядок 111 ⟶ 112:
 
Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:
: <math>z=r(\cos \varphi+i\cdot\sin \varphi)</math>,
 
де <math>r\,</math> і <math>\varphi</math>&nbsp;— дійсні числа, причому <math>r\,</math> додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.
: <math>r\,</math> (називається модулем числа <math>z\,</math>)&nbsp;— це [[відстань]] між точкою <math>(a,b)\,</math> та початком координат.
: <math>\varphi</math> (називається аргументом числа <math>z\,</math>)&nbsp;— [[кут]] (виражений у [[радіан]]ах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).
 
: <math>a=r \cos\varphi</math>,
Рядок 127 ⟶ 128:
: <math>z=r e^{i\varphi}</math>.
 
Геометричний зміст зручний для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься до цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається [[Формула Муавра|формулою Муавра]] і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.
 
=== Комплексні числа, представлені в матричній формі ===
Рядок 140 ⟶ 141:
 
== Узагальнення ==
Процедура розширення множини <math>\mathbb{R}</math> в <math>\mathbb{C}</math> називається [[Процедура Келі-Діксона|процедурою Келі-Діксона]]. Цю процедуру можна застосувати і до самих комплексних чисел, розширюючи їх множини до [[кватерніони|кватерніонів]] <math>\mathbb{H}</math> , [[октоніон|октоніонів]]ів <math>\mathbb{O}</math> і [[седеніон]]ів <math>\mathbb{S}</math>.
Проте, застосування процедури до поля дійсних чисел призводить до втрати ним властивості [[Впорядковане поле|впорядкованості]], а при подальшому узагальненні втрачаються і деякі інші властивості &nbsp;— так, квартеніони втрачають властивість комутативності множення (таким чином, множина кватерніонів є [[Тіло (алгебра)|тілом]]), а октоніони &nbsp;— властивість асоціативності множення. Седеніони, згідно з [[Теорема Гурвіца про композитні алгебри|теоремою Гурвіца]], не є [[Нормована алгебра з діленням|нормованими алгебрами]], тобто в них не виконується рівняння
<math>\ |ab| = |a|\cdot|b|</math> (більш того, окрім <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\mathbb{H}</math> і <math>\mathbb{O}</math> таких алгебр не існує).
 
Інший спосіб розширення пов'язаний з матричним представленням комплексних чисел &nbsp;— будь яке число <math>w</math> може бути співвіднесене з матрицею
: <math>
\begin{pmatrix}
\operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\
Рядок 153 ⟶ 154:
 
Але це не єдиний вид [[лінійне представлення|лінійних представлень]] комплексних чисел. Будь-яка матриця виду
: <math>J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0</math>
має наступну властивість: <math>J^2 = I</math>, де <math>I</math> &nbsp;— одинична матриця. Таким чином, конструкція виду
: <math>\{ z = a I + b J : a,b \in R \}</math>
також є ізоморфною полю <math>\mathbb{C}</math>, і породжує альтернативну структуру на полі <math>\mathbb{R}^2</math>. Ці структури можна узагальнити і формі комплексних структур на дійсному лінійному просторі.
 
[[Гіперкомплексні числа]] є ще одним способом генералізації комплексних чисел &nbsp;— наприклад, [[подвійні числа]] виду <math>\ a + bj,</math> де <math>\ a,b</math> &nbsp;— дійсні числа; <math>\ j</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]], така що<math>\ j^2 = +1.</math>.
 
Ще більш широкими узагальненнями комплексних чисел можна вважати [[Алгебра Кліфорда|алгебри Кліфорда]], побудовані на комплексних векторних просторах.
Рядок 167 ⟶ 168:
 
=== Електротехніка ===
Оскільки [[змінний струм]] є коливальним процесом, його зручно описувати і досліджувати з застосуванням комплексних чисел. Вводяться також поняття імпедансу або [[Електричний імпеданс|комплексного опору]] для [[Реактивний елемент|реактивних елементів]] електричного кола таких як ємність і індуктивність -&nbsp;— це допомагає розрахувати струми в ланцюзі. З огляду на те, що традиційно символ <math>{\displaystyle i}</math> в електротехніці позначає величину струму, уявну одиницю там позначають буквою <math>\displaystyle j</math>. У багатьох областях електротехніки (в основному радіочастотної і оптичної) використовується не запис рівнянь струму і напруги для ланцюга, а безпосередньо [[рівняння Максвелла]] в їх спектральному поданні, фізичні величини яких задані в комплексній площині, і при переході з <math>\displaystyle (t, x)
</math> -&nbsp;— в <math>\displaystyle (\omega,k)</math> -&nbsp;— простір (де <math>\displaystyle t</math> -&nbsp;— час, <math>\displaystyle \omega</math> -&nbsp;— [[кутова частота]]) за допомогою [[перетворення Фур'є]] виходять простіші рівняння без похідних.
 
=== Квантова механіка ===
В [[квантова механіка|квантовій механіці]] частинки завжди мають хвильову природу, аж до моменту виміру, що провокує [[колапс хвильової функції]]. Для того щоб коректно представити це в математичній формі, вводиться комплексна функція, що називається [[Хвильова функція|хвильовою]], що дозволяє виразити стан будь-якої квантової системи. <ref name="nikitin">[http://cyberleninka.ru/article/n/nenablyudaemye-kompleksnyh-chisel-v-elektrotehnike-i-fizike NOT OBSERVABLE COMPLEX NUMBERS IN THE ELECTRICAL ENGINEER AND THE PHYSICIST]</ref>
 
=== Аеродинаміка ===
Рядок 183 ⟶ 184:
=== Теорія керування ===
 
У [[Теорія автоматичного керування|теорії автоматичного керування]], рівняння у комплексних числах потрібні для визначення стійкості системи -&nbsp;— здатність системи, що автоматично керується, повертатися в сталий режим після деякого збурення.
 
== Математичне застосування ==
Рядок 201 ⟶ 202:
Квадратні корені були відомі ще у давньому Вавилоні<ref>[http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course17/lesson809/]</ref>, проте всі давні автори або взагалі не розглядали квадратні корені з від'ємних чисел, або ж просто зазначали їх неможливість.
 
Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці [[Ars Magna (Джироламо Кардано)|«Велике мистецтво, або про правила»]] алгебри [[Джироламо Кардано|Кардано]] ([[1545]]) під час розв'язку квадратного рівняння x<sup>2</sup> -&nbsp;— 10x + 40 = 0, який однак, визнав їх "«беззмістовними, хоча і хитромудрими"». Користь уявних величин, зокрема, при розв'язуванні кубічного рівняння, у випадку, коли дійсні корені многочлена виражаються через кубічний корінь з уявних величин, що не приводиться, вперше оцінив [[Бомбеллі Рафаель|Бомбеллі]] ([[1572]]), хоча і він вважав комплексні числа даремною забавкою.
 
Вирази вигляду <math>a+b\sqrt{-1}</math>, що з'являються при розв'язуванні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI—XVII століттях завдяки [[Рене Декарт|Декарту]], що таким чином намагався підкреслити їх нереальність. В цілому, для багатьох вчених того часу, природа комплексних чисел була незрозумілою, а їх право на існування видавалося доволі сумнівним, втім, це ж можна сказати і про ірраціональні і навіть про від'ємні числа. [[Готфрід Вільгельм Ляйбніц|Лейбніц]], наприклад, писав: «Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній суті, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці». Проте, той факт, що застосування методів роботи з раціональними числами давало логічні результати і для комплексних, давало математикам привід для більшої довіри.<ref>[http://www.pucrs.br/famat/viali/tic_literatura/livros/Paul%20J.%20Nahin%20-%20An%20Imaginary%20Tale%20The%20Story%20of%20i%20the%20Square%20Root%20of%20Minus%20One.pdf An Imaginary Tale THE STORY OF i]{{ref-en}}</ref>
Рядок 209 ⟶ 210:
<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. \,</math>
 
Символ <math>i=\sqrt{-1}</math> запропонував [[Ейлер]] ([[1777]], опубл. [[1794]]), що узяв для цього першу букву слова {{lang-la|imaginarius}}. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи [[логарифм]], на комплексну область, а також вивів [[Формула Ейлера|формулу Ейлера]], що пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Ейлер також висловив у [[1751]] році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов [[Жан Лерон д'Аламбер|д'Аламбер]] (1747), але перший строгий доказ цього факту належить [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусу]] ([[1799]]). Гаус ввів у загальний вжиток термін «комплексне число» в [[1831]] році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж сенсі французький математик [[Лазар Карно]] в [[1803]] році, а також поняття "«норми"» ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>.
 
Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з'явилося вперше в роботі {{нп|Каспар Вессель|Каспара Весселя||Caspar Wessel}} (1799). Перші кроки в цьому напрямі були зроблені Валлісом (Англія) в 1685 році. Сучасний геометричний зміст, іноді його ще називають «діаграмою Аргана», увійшов до вжитку після публікації в 1806-му і 1814-му роках роботи Аргана, що повторювала незалежно висновки Весселя. Саме Арганд ввів термін "«модуль"» для величини <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>. Терміни "«аргумент"» і "«спряжене число"» ввів Коші.<ref>[http://zachustvitchznu.ucoz.ru/news/21_serpnja_narodilisja/2016-08-21-751]</ref> Завдяки цим роботам, став зрозумілим тісний зв'язок між комплексними числами і [[Векторна алгебра|векторною алгеброю]].
 
У 1806 році Арган за допомогою комплексних чисел вперше опублікував строге доведення [[Основна теорема алгебри|основної теореми алгебри]] &nbsp;— твердження про те, що будь-який многочлен над полем комплексних чисел має комплексний корінь.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Argand.html Біографія Жана Аргана] {{ref-en}}</ref>
 
Арифметична модель комплексних чисел як пари дійсних чисел була побудована [[Гамільтон Вільям Ровен|Гамільтоном]] ([[1837]]); це довело несуперечність їхніх властивостей.
 
Успішність моделі комплексних чисел як векторів на площині підштовхнула математиків до пошуків подібної репрезентації тривимірного простору. Проте ці пошуки не призвели до успіху, однак, 1843 року Гамільтон відкрив [[Тіло (алгебра)|тіло]] [[кватерніони|кватерніонів]] (векторів у чотиривимірному просторі), щоправда, відмовившись від властивості [[Комутативність|комутативності]] множення для них.
Рядок 226 ⟶ 227:
|назва=Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие
|місце=М. |видавництво=Просвещение |рік=1998 |isbn=5-09-008036-4}} {{ref-ru}}
 
== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Комплексні числа|сторінки=166}}
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Комплексне_число