Вікіпедія

Інтегральна теорема Коші: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 3:
 
== Формулювання теореми у варіанті Коші ==
Нехай <math>f(z)=U(x,y)+iV(x,y)\,</math> диференційовна в [[Однозв'язна область|однозв’язній області]] <math>D \subset \mathbb{C}</math> і її [[похідна]] неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді [[інтеграл]] від <math>f(z)\,</math> по будь-якій [[замкнена крива|замкненій]] простій кривій <math>\gamma\,</math>, яка лежить в області <math>D\,</math>, дорівнює нулю:
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=0\,</math>
 
Рядок 9:
Згідно з властивістю інтегралу:
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}Udx-Vdy+i\int_{\gamma}Udy+Vdx\,</math>
Оскільки <math>f(z)</math> має неперервну похідну першого порядку в області <math>D</math>, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області <math>D.</math>, де виконується [[Умови Коші — Рімана|умова Коші-Рімана]]:
:<math>\oint_{\gamma}Udx-Vdy=\oint_{\gamma}Udy+Vdx</math>▼
Тобто
:<math>\int_{\gamma}f(z)dz=0\,</math>
З іншого боку, щоб будь-який [[криволінійний інтеграл]] дорівнював нулю, необхідно щоб під знаком інтеграла був повний [[диференціал]]:
:<math>0=\oint_{\gamma}d\varphi=\oint_{\gamma}\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy</math>▼
<math>\begin{matrix}\frac{\partial \varphi}{\partial x}=U\\ \ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-V\end{matrix}</math> <math>\Leftrightarrow \frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial y}</math>
 
Згідно [[Теорема Гріна|теореми Гріна]] тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її ''R''), яку обмежує цей контур, а саме:
Тому необхідною умовою неперервності у будь-якій точці є незалежність інтегралу від шляху.
▲:<math>\oint_int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}Udx-Vdy=+i\oint_int_{\gamma}Udy+Vdx</math>
= \iint\limits_R \left( - {\partial v\over \partial x} - {\partial u\over \partial y} \right) dA +
i\iint\limits_R \left( {\partial u\over \partial x} - {\partial v\over \partial y} \right) dA. </math>
Оскільки <math>f(z)</math> є голоморфною функцією, то виконуються [[Умови Коші — Рімана|умова Коші-Рімана]]:
▲:<math>0=\oint_{\gamma}d\varphi=\oint_{\gamma}\frac{\partial \varphiu}{\partial x}dx+= \frac{\partial \varphiv}{\partial y}dy </math> і
<math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}. </math>
Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також <math>\int_{\gamma}f(z)dz=0.</math>
 
== Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників ==
Рядок 132 ⟶ 133:
* [[Лишок]]
* [[Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші]]
 
== Посилання ==
* Terry Tao. [https://terrytao.wordpress.com/2016/10/02/math-246a-notes-3-cauchys-theorem-and-its-consequences/ Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences]
 
== Джерела ==
* ''Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П.'' Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
*''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.
 
[[Категорія:Комплексний аналіз]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Інтегральна_теорема_Коші