Інтегральна теорема Коші: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 69:
:<math>\int_{L_{a_0,\ldots, a_m}} f(z) dz= \int_{L_{a_0,\ldots, a_{m-1}}} f(z) + \int_{L_{a_{m-1},a_{m}, a_0}} f(z)</math>
оскільки відрізок, що з'єднує точки <math>a_0</math> і <math>a_{m-1}</math> у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.
== Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів ==
Нехай функція ''f'' є голоморфною у області ''U'' і <math>\gamma_0 : [a,b] \rightarrow U</math> і <math>\gamma_1 : [a,b] \rightarrow U</math> є [[Гомотопія|гомотопними]] (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у ''U''. Тоді
:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>
Звідси випливає, зокрема, що якщо <math>\gamma</math> є стягуваним замкнутим спрямлюваним простим контуром у ''U'' то
:<math>\int_{\gamma} f(z)\ dz 0.</math>
=== Доведення ===
Нехай <math>\gamma: [0,1] \times [a,b] \rightarrow U</math> є гомотопією із <math>\gamma_0</math> у <math>\gamma_1</math>. Для будь-яких <math>s \in [0,1]</math> і <math>t \in [a,b]</math> точка <math>\gamma(s,t)</math> належить <math>U</math>. Із компактності випливає існування радіуса <math>r>0</math> для якого <math>D(\gamma(s,t),r) \subset U</math> для всіх <math>s \in [0,1]</math> і <math>t \in [a,b]</math>. Оскільки відображення <math>\gamma</math> є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує <math>\delta > 0</math> для якого
:<math>|\gamma(s',t') - \gamma(s,t)| \leqslant \frac{r}{4}</math>
для всіх <math>s,s' \in [0,1]</math> і <math>t,t' \in [a,b]</math> для яких <math>|s-s'| \leqslant \delta</math> і <math>|t-t'| \leqslant \delta</math>.
Нехай <math>0 = s_0 < \dots < s_n = 1</math> і <math>a = t_0 < \dots < t_m = b</math> є розбиттями відповідних відрізків для яких <math>{|s_i - s_{i-1}| \leqslant \delta}</math> і <math>{|t_j-t_{j-1}| \leqslant \delta}</math> для всіх <math>1 \leqslant i \leqslant n</math> і <math>1 \leqslant j \leqslant m</math>. Для кожного <math>i</math> і <math>j</math> позначимо <math>C_{i,j}</math> замкнутий контур із точок
:<math>C_{i,j} := \gamma_{\gamma(s_i,t_{j-1}) \rightarrow \gamma(s_i,t_j) \rightarrow \gamma(s_{i-1},t_j) \rightarrow \gamma(s_{i-1},t_{j-1}) \rightarrow \gamma(s_i,t_{j-1})}.</math>
За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж <math>\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4} = r,</math> тож контур цілком міститься у крузі <math>D( \gamma(s_i,t_i), r).</math>
Тому із попереднього
:<math>\int_{C_{i,j}} f(z)\ dz = 0</math>
для всіх <math>1 \leqslant i \leqslant n</math> і <math>1 \leqslant j \leqslant m</math>. Просумувавши ці рівності для всіх <math>i</math> і <math>j</math>, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що
:<math>\int_{\gamma_{\gamma(0,t_0) \rightarrow \gamma(0, t_1) \rightarrow \dots \rightarrow \gamma(0, t_n)}} f(z)\ dz = \int_{\gamma_{\gamma(1,t_0) \rightarrow \gamma(1, t_1) \rightarrow \dots \rightarrow \gamma(1, t_n)}} f(z)\ dz </math>
Далі можна записати рівність
:<math>\int_{\gamma_{\gamma(0,t_{i-1}) \rightarrow \gamma(0,t_i)}} f(z)\ dz = \int_{\gamma_{0,[t_{i-1},t_i]}} f(z)\ dz</math>
для <math>i=1,\dots,n</math>, де <math>\gamma_{0,[t_{i-1},t_i]}: [t_{i-1},t_i] \rightarrow U</math> є обмеженням <math>\gamma_0: [a,b] \rightarrow U</math> на <math>[t_{i-1},t_i]</math> і так само для <math>\gamma_1</math>. Разом із цього отримуємо
:<math>\int_{\gamma_0} f(z)\ dz = \int_{\gamma_1} f(z)\ dz.</math>
== Наслідки ==
| |||