Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія): відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 50:
Згідно [[Теорема Пікара — Лінделефа|теореми Пікара — Лінделефа]] для кожної точки <math>b \in \bar B(0,r)</math> — замкнутій кулі із радіусом <math>r < s</math> існує деякий проміжок <math>t_- < 0< t_+ </math> і відображення <math>F_b(t)\ :\ (t_-,t_+) \to \R^n </math> такі, що <math>F_b(0) = b </math> і координатні функції відображення <math>F_b(t) </math> на проміжку <math>t_- < t < t_+ </math> є розв'язками системи диференціальних рівнянь (відповідно <math>\varphi^{-1}(F_b(t)) </math> є інтегральною кривою для векторного поля <math>X</math>) із початковою умовою <math>F_b(0) = b </math>. Якщо вибрати для кожного <math>b \in \bar B(0,r) </math> максимальний можливий проміжок <math>(t_-, t_+), </math> то <math>t_- </math> буде [[Напівнеперервна функція|напівнеперервною зверху]], а <math>t_+ </math> — [[Напівнеперервна функція|напівнеперервною знизу]] функціями від <math>b. </math> Із властивостей напівнеперервних функцій <math>t_+ </math> досягає свого мінімуму, <math>t_- </math> свого максимуму [[Компактний простір|компактній множині]] <math>\bar B(0,r) </math>. Згідно [[Теорема Пікара — Лінделефа|теореми Пікара — Лінделефа]] <math>0 < \min t_+ </math> і <math>\max t_- < 0 </math>. Позначимо тепер <math>\bar t = \min (\min t_+, \max t_-). </math> Тоді, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь неперервно залежать від початкових умов, одержується відображення <math>F(t, x_1, \ldots, x_n)\ :\ (- \bar t,\bar t)\times \bar B(0,r) \to \bar B(0,s) </math> для якого <math>F(0, x_1, \ldots, x_n) = (x_1, \ldots, x_n) \in \bar B(0,r) </math>і для кожного конкретного <math>(x_1, \ldots, x_n) \in \bar B(0,r) </math>відображення <math>F(t, x_1, \ldots, x_n), \ t \in (- \bar t,\bar t) </math> є розв'язком системи диференціальних рівнянь із відповідною початковою умовою.
Розглянемо тепер відображення <math>G : [-\bar t, \bar t]\times \bar B_1(0,r) \to U \subset M, </math> (де куля <math>\bar B_1(0,r) \subset \R^{n-1} </math> має розмірність на 1 меншу, ніж <math>\bar B(0,r) </math>), задане як <math>G (t,x_2,\ldots,x_n) = \varphi^{-1}(F(t,0,x_2,\ldots,x_n)). </math> Для фіксованих <math>(x_2, \ldots, x_n) </math> образом <math>G (t,x_2,\ldots,x_n) </math> є інтегральні криві, тобто <math>\operatorname{d} G \left ({\partial \over \partial t} \right ) = X. </math> Зокрема <math>\operatorname{d} G \left ({\partial \over \partial t} \right )(0,\ldots,0) = {\partial \over \partial y_1}(x) = X_x. </math> Також для <math>t = 0 </math> відображення <math>G (0,x_2,\ldots,x_n) = \varphi^{-1}(0,x_2,\ldots,x_n) </math> і тому у цих точках <math>\operatorname{d} G \left ({\partial \over \partial x_i} \right ) = {\partial \over \partial y_i}, \ i \in 2,\ldots,n. </math>
Відповідно у точці <math>(0,\ldots,0) </math> диференціал <math>\operatorname{d} G _{(0,\ldots,0)} </math> є рівним диференціалу <math>\operatorname{d} ( \varphi^{-1})_{(0,\ldots,0)} </math>, зокрема <math>\operatorname{d} G _{(0,\ldots,0)} </math> є невиродженим і з [[Теорема про обернену функцію|теореми про обернене відображення]] випливає, що в деякому околі <math>(0,\ldots,0) </math> відображення <math>G </math> є [[Дифеоморфізм|дифеоморфізмом]]. Тоді <math>G^{-1} </math> є координатним відображення у деякому околі <math>V </math> точки <math>x</math> і з побудови координатні лінії для перших координат будуть інтегральними кривими для <math>X</math>, тобто <math>\frac{\partial}{\partial x_1} = X,</math> що завершує доведення у цьому випадку.
== Див. також ==
| |||