Теорема про поворот плоскої кривої: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 49:
=== Доведення ===
Позначивши <math>C \subset \R^2</math> — образ (слід) кривої, нехай <math>p \in C </math> є такою точкою, що вся <math>C </math> лежить в одній із замкнутих півплощин визначених дотичною лінією у точці <math>p </math> і до тогож всі точки крім <math>p </math> належать відповідній відкритій півплощині. Щоб знайти таку точку спершу можна взяти коло з центром у початку координат достатньо великого радіуса щоб <math>C </math> лежало у відповідному крузі. Поступово зменшуючи радіус можна знайти найбільший можливий радіус при якому відповідне коло і <math>C </math> має спільну точку. В кожній із таких спільних точок дотична лінії до кола є також дотичною лінією до <math>C </math> і відповідно необхідні умови виконуються. Без втрати загальності можна вважати, що <math>\gamma(a) = p.</math>
Розглянемо трикутник <math>T = \{(t_1,t_2)\ | \ a \leqslant t_1 \leqslant t_2 \leqslant b\}</math> і відображення <math>\psi : T \to S^1</math> задане як:
<math>\psi(t_1,t_2) =
\begin{cases}
\gamma'(t_1), & t_1 = t_2 \\
\frac{\gamma(t_2) - \gamma(t_1)}{|\gamma(t_2) - \gamma(t_1)|}, & t_1 \neq t_2,\ (t_1,t_2) \neq (a,b) \\
\gamma'(a) & (t_1,t_2) = (a,b)
\end{cases}</math>
Дане відображення є неперервним і <math>\psi(t,t) = \gamma'(t).</math> Саме індекс цього відображення і потрібно знайти.
== Примітки ==
| |||