Гільбертів простір: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
TobeBot (обговорення | внесок) м робот додав: sq:Hapësira e Hilbertit |
Немає опису редагування |
||
Рядок 47:
Система векторів <math>\{u_i: i\in I\}</math> гільбертова простора <math>H,</math> що індексується множиною <math>I,</math> називається''' ортогональною''', якщо <math>(u_i,u_j)=0</math> для будь-яких <math>i\ne j\in I</math>
і''' ортонормальною''', якщо додатково <math>(u_i,u_i)=1</math> для будь-якого <math>i\in I.</math> Таким чином, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертова простора одиничної довжини. Система векторів називається''' повною''', якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — [[щільна множина|щільна]] у <math>H.</math> Повна ортонормальна система векторів гільбертова простора <math>H</math> називається''' ортонормальним базисом''' у <math>H.</math>
Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.''' Координати''' вектора <math>w\in H</math> відносно данного ортонормального базису — це скаляри <math>a_i=(u_i,w), i\in I.</math> Вектор <math>w</math> повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:
<center><math>w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.</math></center>
| |||