*-алгебра: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''*-алгебра'''(''алгебра з інволюцією'', ''алгебра з операцією спряження'') — [[асоціативна алгебра]] з [[інволюція (математика)|інволюцією]].
Спочатку визначимо операцію * для [[кільце (алгебра)|кільця]].
== *-кільце ==
'''*-кільце''' — [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[унарна операція|унарною операцією]] *
* [[антиавтоморфізм]]ом, тобто
Рядок 24:
:<math>(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A</math>.
'''*-гомоморфізм''' <math>\ f: A \to B</math> є [[гомоморфізм алгебр]] що відображає інволюцію в ''A'' на
:<math>f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.</math>
----
* Елементи для яких <math>\ x^*= x</math> називаються '''само-спряженими''', '''симетричними''' або '''ермітовими'''.
* Елементи для яких <math>\ x^*=-x</math> називаються '''
* Можна визначити [[сесквілінійна форма|сесквілінійну форму]] за допомогою операції * у виді <math>\phi(x,y) = x^* \cdot y</math>.
Рядок 36:
* За допомогою [[процедура Келі-Діксона|процедури Кейлі-Діксона]] утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, [[кватерніони]], [[октави (математика)|октави]].
* Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією [[спряження матриці|ермітового спряження]].
* Ермітове спряження [[лінійний оператор|лінійного оператора]] в [[Гільбертів простір|Гільбертовому просторі]].
==Властивості==
Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:
* Якщо для 2 в алгебрі існує [[обернений елемент]], тоді <math>\frac12(1-*)</math> та <math>\frac12(1+*)</math> є [[ортогональність|ортогональними]] [[ідемпотентність|ідемпотентами]]. Якщо їх вибрати в [[базис (математика)|базис]], то алгебра як [[векторний простір]] розкладається в пряму суму [[лінійний підпростір|підпросторів]] з ''симетричних'' та ''анти-симетричних'' (ермітових та анти-ермітових) елементів.
* Ермітові елементи *-алгебри утворюють [[алгебра Йордана|алгебру Йордана]].
* Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють [[алгебра Лі|алгебру Лі]].
==Дивись також==
| |||