Вікіпедія

Алгебра над кільцем: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
мНемає опису редагування
мНемає опису редагування
Рядок 1:
'''Алгебра над кільцем''' — [[алгебраїчна структура]] в [[математикаабстрактна алгебра|математиціабстрактній алгебрі]], а саме в [[теорія кілець|теорії кілець]], таказ операціями [[алгебраїчна структурадодавання]], що[[множення]] задовільняєта умовам[[множення на скаляр]], така що:
 
якщо ''R'' — [[комутативне кільце]], тотоді '''''R''-алгеброю''' (тобто, '''алгеброю над кільцем '''''R'' ''') є [[кільцемодуль (алгебра)над кільцем|кільце]] '''A'R''-модуль]], якещо одночасноєодночасно є [[модуль надкільце (алгебра)|кільцем|''R''-модулем]] та множення в кільціякому є [[білінійне відображення|''R''-білінійнимбілінійне]]: множення.
:<math>r \cdot (xy) = (r \cdot x)y = x(r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.</math>▼
 
Формально:
Якщо ''A'' є комутативним кільцем, тоді воно називається '''комутативною ''R''-алгеброю'''.▼
:<math>\ (A,+,\cdot)</math> — є ''R''-модулем;
:<math>\ (A,+,\times)</math> — є кільцем (в деяких авторів [[асоціативність]] не вимагається);
▲:<math>r \cdot (xyx \times y) = (r \cdot x) \times y = x \times (r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.</math>
 
Пов'язані визначення:
===Визначення через ''R''-модуль===
▲* Якщо ''A'' є комутативним кільцем, тоді воно називається '''комутативною ''R''-алгеброю'''.
* Якщо ''R'' є [[поле (алгебра)|полем]], тоді ''A'' називається '''алгеброю над полем'''.
 
==Алгебра над полем==
Маючи ''R''-модуль '''A''', отримаємо ''R''-алгебру добавивши ''R''-білінійне відображення ''A'' &times; ''A'' → ''A'' таке що:
 
:<math>\ x(yz) = (xy)z,</math>
Алгебра над полем за визначенням є [[векторний простір|векторним простором]] над <math>R</math>, тобто має [[базис]].
:<math>\exists 1 \in A: \;\; 1x = x1 = x.</math>
Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченномірних алгебр.
для всіх ''x, y, z'' ∈ ''A''. Таке ''R''-білінійне відображення надає ''A'' структуру кільця.
 
==Приклади==
* Алгебра над кільцем
** довільне кільце можна розглядати як <math>\Z</math>—алгебру, оскільки множення на [[ціле число]] можна звести до додавання та віднімання,
** алгебри [[квадратна матриця|квадратных матриць]],
** алгебри [[многочлен]]ів
* Алгебри над полем [[дійсні числа|дійсних чисел]]
** [[Комплексні числа]]
** [[Подвійні числа]]
** [[Дуальні числа]]
** [[Кватерніони]]
** [[Октави(математика)|Октави]] — не асоціативна алгебра.
 
==Дивись також==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Алгебра_над_кільцем