Вікіпедія

Спряжені функтори: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 84:
Конструкція [[Вільна група|вільної групи]] є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай {{math|''F'': '''Grp''' ← '''Set'''}} — функтор, який множині {{math|''Y''}} зіставляє вільну групу, породжену елементами {{math|''Y''}}, і {{math|''G'': '''Grp''' → '''Set'''}} — [[забуваючий функтор]], що зіставляє групі {{math|''X''}} її множину-носій. Тоді {{math|''F''}} — лівий спряжений для {{math|''G''}}:
 
Термінальні стрілки: для кожної групи {{math|''X''}}, група {{math|''FGX''}} — вільна група, породжена елементами {{math|''X''}} як множиною. Нехай <math>\varepsilon_X: FGX \to X</math> — гомоморфізм груп, який переводить [[Породжуюча множина групи|породжуючі елементи]] {{math|'' FGX ''}} у відповідні елементи {{math|''X''}}. Тоді <math>(GX, \varepsilon_X)</math> — термінальний морфізм з {{math|''F''}} у {{math|''X''}}, тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи {{math|''FZ''}} в {{math|''X''}} розкладається через <math>\varepsilon_X: FGX \to X</math> за допомогою єдиної функції з множини {{math|''Z''}} в множину {{math|''X''}}. Це означає, що {{math|(''F'', ''G'')}} — пара спряжених функторів.
 
множиніМножині Hom: відображення з вільної групи {{math|''FY''}} у групу {{math|''X''}} однозначно відповідають відображенням множини {{math|''Y''}} у множину {{math|''GX''}}: кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара {{math|(''F'', ''G'')}} є спряженою.
 
=== Подальші приклади з алгебри ===
Рядок 97:
* [[Поле часток]]. Для категорії {{math|'''Dom'''<sub>m</sub>}} [[Область цілісності|областей цілісності]] і [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивних]] гомоморфізмів, забуваючий функтор {{math|'''Field''' → '''Dom'''<sub>m</sub>}} має лівий спряжений, що зіставляє кожній області цілісності її [[поле часток]].
* [[Кільце многочленів|Кільця многочленів]] . Для {{math|'''Ring'''<sub>*</sub>}} — категорії комутативних кілець із зазначеним елементом і гомоморфізмів, що зберігають зазначений елемент, забуваючий функтор {{math|G: '''Ring'''<sub>*</sub> → '''Ring'''}} має лівий спряжений — він зіставляє кільцю {{math|''R''}} пару {{math|(''R''[''x''],''x'')}}, де {{math|''R''[''x'']}} — [[кільце многочленів]] з коефіцієнтами з {{math|''R''}}.
* Абелізація. Забуваючий функтор {{math|''GU'': '''Ab''' → '''Grp'''}} має лівий спряжений, що називається функтором абелізаціі, який кожній [[Група (математика)|групі]] {{math|''G''}} зіставляє [[Факторгрупа|факторгрупу]] по [[Комутант|комутанту]]: {{math|''G''<sup>ab</sup> {{=}} ''G''/[''G'', ''G'']}}. Для групи {{math|''G''}} її абелізація має універсальну властивість: кожен гомоморфізм <math>\varphi</math> із {{math|''G''}} у [[Абелева група|абелеву групу]] {{math|''A''}} однозначно записується як <math>\varphi = \bar \varphi\ \circ \ \mu, </math> де <math>\mu </math> є відображенням факторизації <math>\mu : G \to G^{ab},</math> а <math>\bar \varphi </math> — однозначно визначеним гомоморфізмом абелевих груп.
:Бієкцію між множинами {{math|hom<sub>'''Ab'''</sub>(''G''<sup>ab</sup>, ''A'')}} і {{math|hom<sub>'''Grp'''</sub>(''G'',''U''(''A''))}} задається так: гомоморфізму абелевих груп <math>\psi : G^{ab} \to A</math> відповідає гомоморфізм <math>\psi \ \circ \ \mu,</math> а гомоморфізму <math>\varphi</math> із {{math|''G''}} у [[Абелева група|абелеву групу]] {{math|''A''}}, визначений вище гомоморфізм <math>\bar \varphi. </math>
 
=== Приклади з топології ===
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Спряжені_функтори