Лінія Ейлера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 51:
:<math>ON = NH, \quad OG =2\cdot GN, \quad NH=3GN.</math>
Таким чином, лінія Ейлера може бути переставлена на числову лінію з навколоцентром <math>O</math> в розташуванні 0, центроїдом <math>G</math> на 2<math>t</math>, дев'ятиточковому центрі в 3<math>t</math> і {{Нп|Orthocentroidal circle|ортоцентром||Orthocentroidal circle}} H в 6<math>t</math> для деякого коефіцієнта масштабу <math>t</math>. Крім того, відстань у квадраті між центроїдом та навколоцентром по лінії Ейлера менше, ніж
:<math>GO^2=R^2-\tfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2).</math>
В додаток<ref name="ac"/>{{rp|p.102}},
:<math>OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2);</math>
:<math>GH^2=4R^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2).</math>
== Представлення ==
Нехай ''A'', ''B'', ''C'' позначають кути вершин опорного трикутника, ''x'' : ''y'' : ''z'' - змінна точка у [[Трилінійні координати|трилінійних координатах]]; то рівняння для лінії Ейлера є
:<math>\sin (2A) \sin(B - C)x + \sin (2B) \sin(C - A)y + \sin (2C) \sin(A - B)z = 0.</math>
Рівняння для лінії Ейлера в барицентричних координатах <math>\alpha :\beta :\gamma</math><ref>Scott, J.A., "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 83, November 1999, 472-477.</ref>
:<math>(\tan C -\tan B)\alpha +(\tan A -\tan C)\beta + (\tan B -\tan A)\gamma =0.</math>
=== Параметричне представлення ===
Інший спосіб представити лінію Ейлера - з точки зору параметра ''t''. Починаючи з кілометра (з трилінійними координатами <math>\cos A : \cos B : \cos C</math>)
і ортоцентр (з трилінеями <math>\sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B)</math>,кожна точка на лінії Ейлера, крім ортоцентру, задається трилінійними координатами
:<math>\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B</math>
утворена як [[лінійна комбінація]] трилінійників цих двох точок, для деяких.
Наприклад:
* У [[Описане коло|колі]] трилінеари <math>\cos A:\cos B:\cos C</math>, що відповідає значенню параметра <math>t=0.</math>
* У [[Центроїд|центроїда]] є трилінеари <math>\cos A + \cos B \cos C : \cos B + \cos C \cos A : \cos C + \cos A \cos B</math>, що відповідає значенню параметра <math>t=1.</math>
* У {{Нп|Дев'ятибальний центр|дев'ятибальному центрі||Nine-point center}} є трилінейки <math>\cos A + 2 \cos B \cos C : \cos B + 2 \cos C \cos A : \cos C + 2 \cos A \cos B</math>, що відповідає значенню параметра <math>t=2.</math>
*{{Нп|точка Лонгхампса|Точка де Лонгхампса||de Longchamps point}} має трилінеари <math>\cos A - \cos B \cos C : \cos B - \cos C \cos A : \cos C - \cos A \cos B</math>, що відповідає значенню параметра <math>t=-1.</math>
=== Нахил ===
У [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] позначають нахили сторін трикутника як <math>m_1,</math> <math>m_2,</math> та <math>m_3,</math> і позначають нахил його лінії Ейлера як <math>m_E</math>. Тоді ці схили пов'язані відповідно до<ref name=BHS>Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", ''Forum Geometricorum'', Volume 13 (2013), 169–184. [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201318.pdf]</ref>{{rp|Lemma 1}}
:<math>m_1m_2 + m_1m_3 + m_1m_E + m_2m_3 + m_2m_E + m_3m_E</math>
::<math> + 3m_1m_2m_3m_E + 3 = 0.</math>
Таким чином, нахил лінії Ейлера (якщо він кінцевий) виражається в плані нахилів сторін як
:<math>m_E=-\frac{m_1m_2 + m_1m_3 + m_2m_3 + 3}{m_1 + m_2 + m_3 + 3m_1m_2m_3}.</math>
Більше того, лінія Ейлера паралельна стороні гострого трикутника ''BC'' тоді і лише тоді<ref name="BHS" />{{rp|p.173}} <math>\tan B \tan C = 3.</math>
== Посилання ==
| |||