Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 21:
:<math>\angle ACB = \angle ADB.</math>
[[Теорема Птолемея]] виражає добуток довжин двох діагоналей {{math|''e''}} і {{math|''f''}} циклічного чотирикутника, рівного сумі добутків протилежних сторін:<ref name="Durell"
|last1=Fraivert|first1=David|last2=Sigler|first2=Avi|last3=Stupel|first3=Moshe
|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Рядок 45:
== Площа ==
[[Площа]] {{math|''K''}} циклічного чотирикутника зі сторонами {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} задана [[Формула Брамагупти|формулою Брахмагупта]]<ref name="Durell"
:<math>K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,</math>
де {{math|''s''}}, [[Півпериметр|півперметр]], {{math|''s'' {{=}} {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'')}}. Це є наслідком [[Формула Бретшнайдера|формули Бретшнайдера]] для загального чотирикутника, оскільки протилежні кути є додатковими у циклічному випадку. Якщо також {{math|''d'' {{=}} 0}}, циклічний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до [[Формула Герона|формули Герона]]. Циклічний чотирикутник має [[Екстремум|максимальну]] площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність бічних довжин. Це ще одне наслідок формули Бретшнайдера. Це також можна довести за допомогою [[Диференціальне та інтегральне числення|обчислення]]<ref>{{citation|last=Peter|first=Thomas|title=Maximizing the area of a quadrilateral|journal=The College Mathematics Journal|volume=34|issue=4|date=September 2003|pages=315–6|jstor=3595770|doi=10.2307/3595770}}</ref>.Чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми інших трьох, є сторонами кожного з трьох невідповідних циклічних чотирикутників<ref name="Coxeter" />, які за формулою Брахмагупта мають однакову площу. Зокрема, для сторін {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} і {{math|''d''}} сторона {{math|''a''}} може бути протилежною будь-якої сторони {{math|''b''}}, сторони {{math|''c''}} або сторони {{math|''d''}}. Площа циклічного чотирикутника з послідовними сторонами {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} та кутом {{math|''B''}} між сторонами {{math|''a''}} і {{math|''b''}} можна виразити як<ref name="Durell"
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}</math>
або<ref name="Durell"
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}</math>
де {{math|''θ''}} — або кут між діагоналями. За умови, що {{math|''A''}} не є прямим кутом, площа також може бути виражена як<ref name="Durell"
:<math>K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.</math>
Інша формула така<ref>{{citation|last=Prasolov|first=Viktor|title=Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry|url=http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf|access-date=November 6, 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20180921105112/http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf|archive-date=September 21, 2018|url-status=dead}}</ref>{{rp|p.83}}
Рядок 62:
== Діагоналі ==
У циклічному чотирикутнику з послідовними вершинами {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}} і сторонами {{math|''a'' {{=}} ''AB''}}, {{math|''b'' {{=}} ''BC''}}, {{math|''c'' {{=}} ''CD''}} і {{math|''d'' {{=}} ''DA''}}, довжини діагоналей {{math|''p'' {{=}} ''AC''}} і {{math|''q'' {{=}} ''BD''}} можна виразити у виразах сторін як<ref name="Durell"
:<math>p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}</math> and <math>q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}</math>
тому показуючи [[Теорема Птолемея|теорему Птолемея]]
:<math>pq = ac+bd.</math>
Відповідно до другої теореми Птолемея<ref name="Durell"
:<math>\frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}</math>,
Рядок 88:
:<math>\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},</math>
:<math>\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.</math>
Кут {{math|''θ''}} між діагоналями задовольняє<ref name="Durell"
:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.</math>
Якщо розширення протилежних сторін {{math|''a''}} і {{math|''c''}} перетинаються під кутом {{math|''φ''}}, то
:<math>\cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}</math>
де {{math|''s''}} — [[Півпериметр|півперіметр]]<ref name="Durell"
== Формула описаного кола Парамешвара ==
| |||