Вікіпедія

Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
ДіДі (обговорення | внесок)
91 редагування
мНемає опису редагування
ДіДі (обговорення | внесок)
91 редагування
мНемає опису редагування
Рядок 88:
:<math>\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},</math>
:<math>\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.</math>
Кут {{math|''θ''}} між діагоналями задовольняє<ref name="Durell8Durell" />{{rp|p.26}}
:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.</math>
Якщо розширення протилежних сторін {{math|''a''}} і {{math|''c''}} перетинаються під кутом {{math|''φ''}}, то
:<math>\cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}</math>
 
де {{math|''s''}} — [[Півпериметр|півперіметр]]<ref name="Durell9Durell">{{citation|first1=C. V.|last1=Durell|first2=A.|last2=Robson|title=Advanced Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=3iYbExAsepEC|year=2003|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-43229-8|origyear=1930}}</ref>{{rp|p.31}}.
 
== Формула описаного кола Парамешвара ==
Циклічний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і [[Півпериметр|півперметром]] s має окружність ([[радіус]] [[Описане коло|описанного кола]]), задану<ref name="Alsina23Alsina2">{{citation|last1=Alsina|first1=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger B.|journal=Forum Geometricorum|pages=147–9|title=On the diagonals of a cyclic quadrilateral|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf|volume=7|year=2007}}</ref><ref>{{citation|last=Hoehn|first=Larry|title=Circumradius of a cyclic quadrilateral|journal=Mathematical Gazette|volume=84|issue=499|date=March 2000|pages=69–70|jstor=3621477|doi=10.2307/3621477}}</ref>
 
:<math>R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.</math>
Рядок 108:
 
== Антицентр та колінеарність ==
Чотири лінії відрізка, кожен [[Перпендикулярність|перпендикулярний]] одній стороні циклічного чотирикутника і проходить через [[Середня точка|середину]] протилежної сторони, є [[Конкурентні прямі|конкурентними прямимі]]<ref name="Altshiller-Court">{{citation|first=Nathan|last=Altshiller-Court|title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle|year=2007|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-45805-2|edition=2nd|origyear=1952|oclc=78063045|pages=131, 137–8}}</ref>{{rp|p.131;}}<ref name="Honsberger" /> . Ці відрізки рядків називаються малитутами<ref>{{mathworld|title=Maltitude|urlname=Maltitude}}</ref>, що є абревіатурою для середньої висоти. Їх спільна точка називається антицентром. Він має властивість бути відображенням [[Описане коло|описанного кола]] у "центрі вершини". Таким чином, у циклічному чотирикутнику окружність, «центр вершин» та антицентр є [[Колінеарність|колінеарними]]<ref name="Honsberger2Honsberger">{{citation|first=Ross|last=Honsberger|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|chapterurl=https://books.google.com/books?id=6oduPgvOAhwC&pg=PA35|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-88385-639-0|pages=35–39|chapter=4.2 Cyclic quadrilaterals|series=New Mathematical Library|volume=37}}</ref>.
 
Якщо діагоналі циклічного чотирикутника перетинаються на {{math|''P''}}, а [[Середня точка|середні точки]] діагоналей — {{math|''M''}} і {{math|''N''}}, то антицентром чотирикутника є [[Висота трикутника|ортоцентр]] [[Трикутник|трикутника]] {{math|''MNP''}}.
Рядок 115:
[[Файл:Japanese_theorem_2.svg|праворуч|міні|[[Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник|Японська теорема]]]]<br />
 
*У циклічному чотирикутнику {{math|''ABCD''}} [[Вписане і позаписані в трикутник кола|стимулятори]] ''M''<sub>1</sub>, ''M''<sub>2</sub>, ''M''<sub>3</sub>, ''M''<sub>4</sub> (див. Рисунок праворуч) у трикутниках {{math|''DAB''}}, {{math|''ABC''}}, {{math|''BCD''}}, та {{math|''CDA''}} є вершинами [[Прямокутник|прямокутника]]. Це одна з теорем, відома як [[Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник|японська теорема]]. Ортоцентри цих же чотирьох трикутників є вершинами чотирикутника, що [[Конгруентність (геометрія)|конгруентне]] {{math|''ABCD''}}, а [[Центроїд|центроїди]] в цих чотирьох трикутниках - вершини іншого циклічного чотирикутника<ref name="Andreescu2Andreescu">{{citation|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Bogdan|last2=Enescu|title=Mathematical Olympiad Treasures|chapter=2.3 Cyclic quads|chapterurl=https://books.google.com/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4305-8|pages=44–46, 50|mr=2025063}}</ref>.
*У циклічному чотирикутнику {{math|''ABCD''}} з окружним центром {{math|''O''}} нехай {{math|''P''}} — точка, де перетинаються діагоналі {{math|''AC''}} і {{math|''BD''}}. Тоді кут {{math|''APB''}} — [[середнє арифметичне]] кутів {{math|''AOB''}} і {{math|''COD''}}. Це прямий наслідок теореми про [[вписаний кут]] та {{Нп|Теорема зовнішнього кута|теореми зовнішнього кута||Exterior angle theorem}}.
*Не існує циклічних чотирикутників з раціональною площею та з нерівними раціональними сторонами ні в [[Арифметична прогресія|арифметичній]], ні в [[Геометрична прогресія|геометричній прогресії]]<ref name="Buchholz">{{citation|last1=Buchholz|first1=R. H.|last2=MacDougall|first2=J. A.|doi=10.1017/S0004972700032883|issue=2|journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society|mr=1680787|pages=263–9|title=Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression|volume=59|year=1999}}</ref>.
*Якщо циклічний чотирикутник має бічні довжини, які утворюють [[Арифметична прогресія|арифметичну прогресію]], чотирикутник також є {{Нп|Ексцентричний чотирикутник|ексцентричним||Ex-tangential quadrilateral}}.
*Якщо протилежні сторони циклічного чотирикутника витягнуті на зустріч при {{math|''E''}} і {{math|''F''}}, то внутрішні [[Бісектриса|бісектриси]] кутів на {{math|''E''}} і {{math|''F''}} перпендикулярні<ref name="Coxeter2Coxeter">{{citation|first1=Harold Scott MacDonald|last1=Coxeter|first2=Samuel L.|last2=Greitzer|title=Geometry Revisited|chapter=3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula|chapterurl=https://books.google.com/books?id=VdAM58ksvcIC&pg=PA57|year=1967|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-619-2|pages=57, 60}}</ref>.
 
== Чотирикутники  Брахмагупта ==
Рядок 153:
 
=== Інші властивості ===
*У циклічному [[Вписаний чотирикутник|ортодіагональному чотирикутнику]] антицентр збігається з точкою, де перетинаються діагоналі<ref name="Altshiller-Court2" Court/>.
*[[Теорема Брамагупти]] стверджує, що для циклічного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр з будь-якої сторони через точку перетину діагоналей ділить протилежну сторону<ref name="Altshiller-Court3" Court/>.
*Якщо циклічний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від [[Описане коло|центру]] до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони<ref name="Altshiller-Court4" Court/>.
*У циклічному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами точок діагоналей дорівнює відстані між центром та точкою, де діагоналі перетинаються<ref name="Altshiller-Court5" Court/>.
 
== Циклічні сферичні чотирикутники ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Вписаний_чотирикутник