Вікіпедія

Вектор Шеплі: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
вікіфікація
вікіфікація
Рядок 1:
'''Вектор Шеплі''' - — принцип оптимальності розподілу виграшу між гравцями в задачах теорії [[Кооперативна гра (теорія ігор)|кооперативних ігор]]. Являє собою розподіл, в якому виграш кожного гравця дорівнює його середньому вкладу в виграш великої коаліції при певному механізмі її формування.
 
== Формальне означення ==
Для кооперативної гри розглянемо деяке впорядкування множини всіх гравців <math>N</math>. Позначимо через <math>K_i</math> підмножину, яка містить перших <math>i</math> гравців в даному впорядкуванні. Вкладом '<math>i</math>-го гравця назвемо величину <math>v(K_i)-v(K_{i-1})</math>, де <math>v</math> -&nbsp;— характеристична функція кооперативної гри.
 
Вектором Шеплі кооперативної гри називається такий розподіл виграшу, що кожний гравець отримує математичне сподівання свого вкладу в відповідні коаліції ''K<sub>i</sub>'', при рівноймовірному винекненні впорядкувань :
<center><math>\Phi(v) = \frac{1}{n!}\sum_{\tau \in T}x_{\tau},</math></center>
 
де <math>n</math> -&nbsp;— кількість гравців, <math>T</math> -&nbsp;— множина впорядкувань множити гравців <math>N,\ x_{\tau}</math> -&nbsp;— розподіл виграшу в якому гравець, що стоїть на місці <math>i</math> у впорядкуванні <math>\tau</math>, отримує свій вклад в коаліцію <math>K_i</math> (точка Вебера).
 
Більш розповсюджена формула для обчислення вектора Шеплі, яка не потребує знаходження <math>n!</math> точок Вебера, має вигляд:
Рядок 12 ⟶ 13:
<center><math>\Phi(v)_{i} = \sum_{K \ni i}\frac{(k-1)!(n-k)!}{n!}(v(K)-v(K \setminus i)),</math></center>
 
де <math>n</math> - &nbsp;— кількість гравців, <math>k</math> -&nbsp;— кількість учасників коаліції <math>K</math>.
 
== Аксіоматика вектора Шеплі ==
Вектор Шеплі задовольняє наступним властивостям:
Рядок 25 ⟶ 27:
2. '''Симетричність.''' Виграш, який отримує гравець не залежить від його номера. Це означає, що якщо гра <math>w</math> отримана з гри <math>v</math> перестановкою гравців, то її вектор Шеплі <math>\Phi(w)</math> є вектор <math>\Phi(v)</math> з відповідним чином переставленими елементами.
 
3. '''Аксіома бовдура.''' В теорії кооперативних ігор ''бовдуром'' називається гравець, який не вносить вклад ні в одну з коаліцій, тобто гравець <math>i</math> такий, що для будь-якої коаліції <math>K</math>, яка містить <math>i</math> виконується:
<math>v(K)-v(K \setminus i)=0</math>.
Аксіома бовдура полягає в тому, що якщо гравець <math>i</math> &nbsp;— бовдур, то <math>\Phi(v)_i = 0</math>.
 
4. '''Ефективність.''' Вектор Шеплі дозволяє повністю розділити виграш великої коаліції, тобто сума компонент вектора <math>\Phi(v)</math> рівна <math>v(N)</math>.
 
'''Теорема Шеплі.''' Для будь-якої коопертивної гри <math>v</math> існує єдиний розподіл виграшу, який задовольняє аксіомам 1 -&nbsp;— 4.
 
== Див. також ==
* [[Кооперативна гра (теорія ігор)]]
 
== Література ==
* Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. &nbsp;В. &nbsp;Теория игр &nbsp;— СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
* Воробьев Н. &nbsp;Н. &nbsp;Теория игр для экономистов-кибернетиков &nbsp;— М.: Наука, 1985
* Печерский С. Л., Яновская Е. &nbsp;Б. &nbsp;Кооперативные игры: решения и аксиомы &nbsp;— Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.
 
[[Категорія:Теорія ігор]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Вектор_Шеплі