Розмірність Круля: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 17:
* Розмірність довільного [[Кільце Дедекінда|кільця Дедекінда]] є рівною 1.
* [[Локальне кільце]] має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його [[Максимальний ідеал|максимального ідеалу]] є [[Нільпотентний елемент|нільпотентними]].
*'''Приклад Наґати'''. Нехай <math>R = k[x_1, ..., x_n, ...]</math> — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів <math>\mathfrak{p}_1 = (x_1),\ \mathfrak{p}_2 = (x_2,x_3),\ \mathfrak{p}_3 = (x_4,x_5, x_6), \ \ldots </math>Тоді <math>S = R \setminus \cup \mathfrak{p}_i</math>є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію <math>A = S^{-1}R.</math>Нехай також <math>\mathfrak{m}_i = S^{-1} \mathfrak{p}_i.</math>Множина <math>\mathfrak{m}_i</math>є множиною максимальних ідеалів кільця ''A''. Справді ідеали кільця ''A'' є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця ''R,'' що містяться у <math> \cup \mathfrak{p}_i.</math>Якщо <math>\mathfrak{a}</math>є таким ненульовим ідеалом то <math>\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}_i</math> для деякого ''i''. Справді, якщо це не так, то з запису <math> \bigcup \mathfrak{p}_i = \mathfrak{p}_1 \cup \ldots \mathfrak{p}_n \cup \bigcup_{k > n} \mathfrak{p}_k</math> і леми про уникнення простих ідеалів випливає що <math> \mathfrak{a} \subset \bigcup_{k > n} \mathfrak{p}_k</math> для всіх ''n''. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню. Будь-який ненульовий елемент кільця ''A'' належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів <math>\mathfrak{m}_i</math>, адже будь-який ненульовий елемент кільця ''R'' належить лише скінченній кількості ідеалів <math>\mathfrak{p}_i</math>, що випливає з того, що будь-який елемент кільця ''R'' є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх <math>\mathfrak{p}_i.</math>
== Властивості ==
| |||