Розкладання на прості дроби: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
Виправлено помилку Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію |
Rausch (обговорення | внесок) |
||
Рядок 126:
: <math> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3 = A\cdot(0+0) + B\cdot( 2+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
тобто ''8 = 2B + 8'' отже ''B=0''.
== Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби ==
Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області [[комплексне число|комплексних]] або [[дійсне число|дійсних]] чисел на найпростіші дроби.
Нехай <math>p(z)</math> і <math>q(z)</math> — [[многочлен]]и з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена <math>p(z)</math> менше степені многочлена <math>q(z)</math>, коефіцієнт при старшому члені многочлена <math>q(z)</math> дорівнює 1, <math>z_i</math> <math>i\in\{1,..,k\}</math> ― корені многочлена <math>q(z)</math> з кратностями <math>\alpha_i</math>, отже,
: <math>q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k}</math>
Функція <math>p/q</math> може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів
: <math>\frac{p(z)}{q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j},</math>
де <math>A_{i,j}</math> ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені <math>q</math>).
Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до [[система лінійних алгебраїчних рівнянь|системи лінійних рівнянь]] відносно <math>A_{i,j}</math>.
''Примітка''. Знаходження невідомих можна спростити, якщо <math>q(z)</math> має некратні корні <math>z_j</math>. Після множення на <math>z-z_j</math> останньої рівності і підстановки <math>z = z_j</math> безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта <math>A_j = \frac{p(z_j)}{\prod\limits_{i\neq j}(z_j-z_i)^{\alpha_i}}</math>.
== Джерела ==
* {{cite book
|автор=Корн Г., Корн Т.
|назва=Справочник по математике для научних работников и инженеров
|видання=друге
|рік=1977
|мова=рос.
|знаходження=Москва
|видавництво=[[Наука (видавництво)|Наука]]
|сторінки=832 с.
}}
== Див. також ==
| |||