Комплексне число: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap |
уточнення |
||
Рядок 2:
[[File:Complex number illustration.svg|thumb|right|Комплексне число можна представити парою чисел {{math|(''a'', ''b'')}}, що утворюють вектор на діаграмі, яка називається [[Комплексна площина|Діаграма Арганда]], що зображає [[Комплексна площина|комплексну площину]]. "Re" — вісь дійсних чисел, "Im" — вісь уявних чисел, а {{math|''i''}} задовольняє умові {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]
'''Ко́мпле́ксні чи́сла''' — [[розширення поля|розширення]] [[поле (алгебра)|поля]] [[
Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума <math>x+iy</math>, де <math>x</math> і <math>y</math> — дійсні числа, <math>i</math> — [[уявна одиниця]]<ref>У теорії електричних кіл, символ <math>\scriptstyle{i}</math> інколи заміняють на <math>\scriptstyle{j}</math>, щоб не плутати зі стандартним позначенням електричного струму (<math>\scriptstyle{i}</math>).</ref>.
Комплексні числа утворюють [[алгебраїчно замкнуте поле]] — це означає, що [[многочлен]] степеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних [[
Поле комплексних чисел можна розглядати як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен <math>z^2+1</math> має
Комплексне число <math>z</math> можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел <math>(x, y)</math>. Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:
Рядок 16:
Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.
Відомо також кілька узагальнень комплексних чисел, таких як [[
== Комплексна арифметика ==
Рядок 25:
** Якщо <math>a=0</math>, то <math>z</math> називається '''уявним''' або '''чисто уявним''' числом. Замість <math>0+bi</math> зазвичай пишуть просто <math>bi.</math>
* Величина <math>b</math> називається '''уявною частиною''' числа <math>z</math> і позначається <math>\operatorname{Im}\,z</math> або <math>\operatorname{Im}(z).</math> Також зустрічається готичний символ<ref>{{cite web|title=Imaginary Part|url=http://mathworld.wolfram.com/ImaginaryPart.html |accessdate=2018-01-16}}</ref>: <math>\Im(z).</math>
** Якщо <math>b=0</math>, то <math>z</math> є
Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності <math>i^2= -1\,</math>.
Рядок 47:
=== Зв'язані визначення ===
Нехай <math>~x</math> і <math>~y</math> —
* Числа <math>\operatorname{Re}z</math> і <math>\operatorname{Im}z</math> називаються відповідно дійсною ('''Re'''al) і уявною ('''Im'''aginary) частинами <math>~z</math>.
** Якщо <math>~x=0</math>, то <math>~z</math> називається уявним або чисто уявним.
| |||