Вікіпедія

Границя числової послідовності: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
→‎Ілюстрації: уточнення
оформлення, уточнення
Рядок 1:
[[Файл:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=Зображення шестикутника і п'ятикутника описаних довкола кола|Послідовність представлена даними периметрами правильних [[Многокутник|багатокутників]] із ''n'' сторонами які описують [[одиничне коло]] при збільшенні кількості сторін має границю, яка дорівнює периметру кола, тобто <math>2\pi r</math>. Відповідна послідовність вписаних багатокутників має ту саму границю при збільшенні кількості сторін ''n''. У таблиці нижче наведено числові значення для деяких ''n''.]]
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
Рядок 21:
</div>
<div class="thumbcaption">
Із тим якКоли додатнє [[Цілі числа|ціле]] число <math>n</math> зростає, значення <math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> стає довільно близьким до <math>1</math>. Тоді кажуть, що «границя послідовності <math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> дорівнює <math>1</math>.»
</div>
</div>
</div>
 
{{Otheruses|Границя (математика)}}
'''Границя числової послідовності'''&nbsp;— фундаментальне поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]], [[число]], до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індексаіндексу в сенсі наступного [[означення]]:▼
 
[[Дійсне число]] ''a'' називається [[границя|границею]] [[числова послідовність|числової послідовності]] <math>\{ a_n : n \geqgeqslant 1 \} </math>, якщо▼
▲'''Границя числової послідовності'''&nbsp;— фундаментальне поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]], [[число]], до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного [[означення]]:
<math> \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(\varepsilon) \in \N \quad \forall n \geqgeqslant N : \; | a_n - a | < \varepsilon▼
 
▲[[Дійсне число]] ''a'' називається [[границя|границею]] [[числова послідовність|числової послідовності]] <math>\{ a_n : n \geq 1 \} </math>, якщо
▲<math> \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(\varepsilon) \in \N \quad \forall n \geq N : \; | a_n - a | < \varepsilon
</math><ref>{{mathshorthand}}</ref>
 
Позначення: <math> a=\lim_{n \to \infty}{a_n} </math> або <math>a_n \to a, \quad n \to \infty </math>
 
При цьому також кажуть, що ''послідовність <math>\{ a_n : n \geqgeqslant 1 \} </math> збігається до числа a'', або ''має границю a''. Послідовність, що збігається до деякої границі називається ''збіжною'', в інших випадках&nbsp;— ''розбіжною''.
 
== Історія ==▼
Грецький філософ [[Зенон Елейський]] відомий тим, що сформулював [[Апорії Зенона|парадокси, що мають під собою процеси наближення до границі]].▼
 
[[Левкіпп]], [[Демокріт]], [[Антіфон]], [[Евдокс Кнідський|Евдокс]] і [[Архімед]] розробили [[метод вичерпування]], в яких використовують нескінченні послідовності для наближення, що дозволяли визначити площу або об'єм фігур. Архімед зміг розрахувати суми, що зараз називаються [[Геометричний ряд|геометричними рядами]].▼
 
[[Ісаак Ньютон|Ньютон]] працював над рядами у своїх роботах ''Analysis with infinite series'' (укр. ''Аналіз нескінченних рядів'', написана в 1669, поширювалася як рукопис і була опублікована в 1711), ''Метод флюксій і нескінченних рядів'' (укр. ''Аналіз нескінченних рядів'', написана в 1671, опублікована у англійському перекладі в 1736, оригінал латиною було опубліковано набагато пізніше) і ''Tractatus de Quadratura Curvarum'' (написана в 1693, опублікована в 1704 як додаток до його ''Optiks''). У своїй останній роботі, Ньютон розглядає [[Біном Ньютона|біноміальне розкладання]] для (''x''&nbsp;+&nbsp;''o'')<sup>''n''</sup>, який він потім перетворює в лінійну форму за допомогою процедури ''розрахунку границі'' (задаючи, що ''o''&nbsp;→&nbsp;0).▼
 
В 18-му столітті, [[Математик|математики]] такі як [[Леонард Ейлер|Ейлер]] змогли успішно розрахувати суму деяких ''розбіжних'' рядів зупиняючи розрахунок в необхідний момент; вони не дуже турбувалися тим чи існує границя чи ні, доки це можна було розрахувати. Наприкінці століття, [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранж]] в своїй роботі ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) стверджував, що відсутність суворості у понятті перешкоджає подальшому розвитку числення. [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] у своєму етюді про [[Гіпергеометрична функція|геометричний ряд]] (1813) вперше чітко дослідив за яких умов ряд буде збіжним до границі.▼
 
Сучасне визначення границі (для будь-якого ε при якому існує індекс ''N'' такий що …) сформулювали [[Бернард Больцано]] (в роботі ''Der binomische Lehrsatz'', Прага 1816, що була мало помічена в той час) і [[Карл Вейєрштрасс]] в 1870-их.▼
 
== Дійсні числа ==
Рядок 44 ⟶ 53:
 
=== Приклади ===
* Якщо <math>x_n = c</math> при сталому значенні ''c'', тоді <math>x_n \to c</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = 1</math>. Для кожного every <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref>
* Якщо <math>x_n = \frac1{n}</math>, тоді <math>x_n \to 0</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Ціла частина числа|ціла частина з округленням вниз]]). Для кожного <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref>
* Для будь-якого даного дійсного числа, можна побудувати послідовність яка буде збігатися до даного числа за допомогою десяткового наближення. Наприклад, послідовність <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> буде збігатися до <math>1/3</math>. Варто відмітити, що десяткове представлення <math>0.3333...</math> є ''границею'' іншої послідовності, яка визначається наступним чином
: <math> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
Рядок 53 ⟶ 62:
=== Формальне визначення ===
<math>x</math> називають '''границею''' числової [[Послідовність|послідовності]] <math>(x_n)</math>, якщо виконується наступна умова:
:* Для кожного [[Дійсні числа|дійсного числа]] <math>\epsilon > 0</math>, існує таке [[Натуральні числа|натуральне число]] <math>N</math> таке що, для кожного натурального числа <math>n \geqgeqslant N</math>, будемо мати <math>|x_n - x| < \epsilon</math>.
Іншими словами, для кожної міри близькості <math>\epsilon</math>, елементи послідовності в кінцевому наближенні стають все ближчими до значення границі. Говорять, що послідовність <math>(x_n)</math> '''збігається до''' або '''прямує до''' границі <math>x</math>, і це записується як <math>x_n \to x</math> або <math>\lim_{n\to\infty}x_n = x</math>.
 
Символічно, це матиме наступний вигляд:
:* <math>\forall \varepsilon > 0(\exists N \in \mathbb{N}(\forall n \in \mathbb{N}(n \geqgeqslant N \implies |x_n - x| < \varepsilon ))). </math>
 
Якщо послідовність збігається до деякої визначеної границі, тоді говорять що така послідовність є '''збіжною'''; в іншому випадку вона є '''розбіжною'''.
Рядок 82 ⟶ 91:
* <math>\lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n}</math> за умови, що <math>\lim_{n\to\infty} b_n \ne 0</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p</math>
* Якщо <math>a_n \leqleqslant b_n</math> для всіх <math>n</math> є більшою ніж деяке <math>N</math>, тоді <math>\lim_{n\to\infty} a_n \leqleqslant \lim_{n\to\infty} b_n </math>
* ([[Стискна теорема]]) Якщо <math>a_n \leqleqslant c_n \leqleqslant b_n</math> для всіх <math>n > N</math>, і <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, {{pad|.5em}} тоді <math>\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>.
* Якщо послідовність є ''обмеженою'' і ''монотонною'' тоді, вона є збіжною.
* Послідовність є збіжною, якщо кожна з її підпослідовностей є збіжною.
Рядок 92 ⟶ 101:
=== Нескінченні границі ===
 
Говорять, що послідовність <math>(x_n)</math> '''прямує до нескінченності''', і позначають як <math>x_n \to \infty</math> або <math>\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>x_n > K</math>; тобто, елементи послідовності зрештою є більшими ніж будь-яке постійне значення''K''. Аналогічно, <math>x_n \to -\infty</math> якщо, для кожного ''K'', існує таке ''N'', що для кожного <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>x_n < K</math>. Якщо послідовність прямує до нескінченності, або до мінус нескінченності, то така послідовність є розбіжною (однак, розбіжна послідовність не обов'язково повинна прямувати до мінус чи плюс нескінченності: візьмемо наприклад <math>x_n=(-1)^n</math>).
 
== Метричні простори ==
Рядок 98 ⟶ 107:
=== Визначення ===
 
Точка ''x'' [[Метричний простір|метричного простору]] (''X'', ''d'') є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для всіх &epsilon; > 0, існує таке ''N'' при якому, для будь-якого <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>d(x_n, x) < \epsilon</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для дійсних чисел коли <math>X = \mathbb{R}</math> і <math>d(x, y) = |x-y|</math>.
 
=== Властивості ===
Рядок 110 ⟶ 119:
=== Визначення ===
 
Точка ''x'' топологічного простору (''X'', &tau;) є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] (''x<sub>n</sub>'') якщо, для кожного [[Окіл|околу]] ''U'' довкола ''x'', існує таке ''N'' при якому, для кожного <math>n \geqgeqslant N</math>, <math>x_n \in U</math>. Це співпадає із визначенням, що було дане для метричних просторів, якщо (''X'',''d'') є метричним простором а <math>\tau</math> є топологією утвореною за допомогою ''d''.
 
Границя послідовності точок <math>\left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)\;</math> у топологічному просторі ''T'' є особливим випадком [[Границя функції в точці#Functions on topological spaces|границі функції]]: областю визначення якої є <math>\mathbb{N}</math> у просторі <math>\mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace</math> із [[Індукована топологія|індукованою топологією]] системи дійсних чисел [[Невласне число|розширеною до нескінченностей]], ранг дорівнює ''T'', а аргумент функції ''n'' прямує до +∞, яка в даному просторі є [[Гранична точка|граничною точкою]] для <math>\mathbb{N}</math>.
Рядок 135 ⟶ 144:
 
Де границя існує тоді і тільки тоді, коли права частина є незалежною від вибору нескінченного ''H''.
 
▲== Історія ==
▲Грецький філософ [[Зенон Елейський]] відомий тим, що сформулював [[Апорії Зенона|парадокси, що мають під собою процеси наближення до границі]].
 
▲[[Левкіпп]], [[Демокріт]], [[Антіфон]], [[Евдокс Кнідський|Евдокс]] і [[Архімед]] розробили [[метод вичерпування]], в яких використовують нескінченні послідовності для наближення, що дозволяли визначити площу або об'єм фігур. Архімед зміг розрахувати суми, що зараз називаються [[Геометричний ряд|геометричними рядами]].
 
▲[[Ісаак Ньютон|Ньютон]] працював над рядами у своїх роботах ''Analysis with infinite series'' (укр. ''Аналіз нескінченних рядів'', написана в 1669, поширювалася як рукопис і була опублікована в 1711), ''Метод флюксій і нескінченних рядів'' (укр. ''Аналіз нескінченних рядів'', написана в 1671, опублікована у англійському перекладі в 1736, оригінал латиною було опубліковано набагато пізніше) і ''Tractatus de Quadratura Curvarum'' (написана в 1693, опублікована в 1704 як додаток до його ''Optiks''). У своїй останній роботі, Ньютон розглядає [[Біном Ньютона|біноміальне розкладання]] для (''x''&nbsp;+&nbsp;''o'')<sup>''n''</sup>, який він потім перетворює в лінійну форму за допомогою процедури ''розрахунку границі'' (задаючи, що ''o''&nbsp;→&nbsp;0).
 
▲В 18-му столітті, [[Математик|математики]] такі як [[Леонард Ейлер|Ейлер]] змогли успішно розрахувати суму деяких ''розбіжних'' рядів зупиняючи розрахунок в необхідний момент; вони не дуже турбувалися тим чи існує границя чи ні, доки це можна було розрахувати. Наприкінці століття, [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранж]] в своїй роботі ''Théorie des fonctions analytiques'' (1797) стверджував, що відсутність суворості у понятті перешкоджає подальшому розвитку числення. [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] у своєму етюді про [[Гіпергеометрична функція|геометричний ряд]] (1813) вперше чітко дослідив за яких умов ряд буде збіжним до границі.
 
▲Сучасне визначення границі (для будь-якого ε при якому існує індекс ''N'' такий що …) сформулювали [[Бернард Больцано]] (в роботі ''Der binomische Lehrsatz'', Прага 1816, що була мало помічена в той час) і [[Карл Вейєрштрасс]] в 1870-их.
 
== Література ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Границя_числової_послідовності