Статистична сума: відмінності між версіями

'''Статистична сума''' -  — [[функція]] параметрів статистичного ансамбля, яка несе в собі повну інформацію про термодинамічну систему.

== Визначення ==

=== Квантова статистика ===

Якщо фізична система, яка сладається з N часток, характеризується набором мікроскопічних станів {|n>} з енергіями <math>E_n </math>, то статистична сума визначається формулою

: <math> Z(N, V, T) = \sum_n e^{-E_n/k_BT} </math>.

де T -&nbsp;— [[температура]], V -&nbsp;— [[об'єм]].

Статистична сума залежить від температури, об'єму, числа часток і, в загальному випадку інших екстенсивних параметрів фізичної системи, наприклад,

=== Класична статистика ===

У класичній механіці мікроскопічний стан системи задається неперервними величинами -&nbsp;— [[координата]]ми <math> q_i </math> та [[імпульс]]ами

<math> p_i </math> часток. У цьому випадку підсумовування заміняється інтергалом. Безрозмірність статистичної суми досягається діленням

: <math> Z = \frac{1}{N!} \frac{1}{(2\pi\hbar)^s} \int e^{-H(q_i, p_i)/k_BT} dq_idp_i</math>,

де s -&nbsp;— число ступенів вільності, <math> H(q_i, p_i) </math> -&nbsp;— [[механіка Гамільтона|функція Гамільтона]], тобто енергія системи, виражена через узагальнені координати. Інтегрування проводиться по всьому [[фазовий простір|фазовому просторі]].

Множник <math> 1/N! </math> з'являється завдяки [[принцип нерозрізнюваності часток|принципу нерозрізнюваності часток]], дозволяючи уникнути

== Вільна енергія ==

[[Вільна енергія]] визначається через статистичну суму за формулою

: <math> F(N,V,T) = -k_B T \text{ln}\, Z </math>.

Оскільки всі параметри термодинамічної системи можна визначити через похідні від вільної енергії, то знання статистичної суми повністю

визначає термодинамічний стан.

Ймовірність реалізації мікроскопічного стану <math>|n \rangle </math> задається '''розподілом Гібса'''

: <math> w_n = \frac{1}{Z} e^{-E_n/k_BT} </math>.

== Статистична сума при змінному числі часток ==

Термодинамічні системи, які можуть обмінюватися частками із середовищем, у статистичній фізиці описуються

[[великий канонічний ансамбль|великим канонічним ансамблем]]. Для нього статистична сума залежить від ще однієї змінної -

: <math> Z(V, T, \mu) = \sum_N \sum_n e^{-(E_n- \mu N)/k_BT} </math>.

В класичній фізиці

: <math> Z(V, T, \mu) = \sum_N \frac{1}{N!} \frac{1}{(2\pi\hbar)^s} \int e^{-(H(q_i, p_i)-\mu N)/k_BT} dq_idp_i</math>.

== Приклади ==

== Джерела ==

* {{cite book

|знаходження=Київ}}, 415 с.

* {{cite book

|знаходження=Москва}}

* {{cite book

* Сума́(суми́) &nbsp;— символ ніщети, убогості, банкротства <br /> Від суми і тюрми не зарікайся.(тут слово суми́)