Ермітова матриця: відмінності між версіями

[[Квадратна матриця]] <math>A \! A</math> з [[комплексні числа|комплексними]] елементами називається '''ермітовою''' (на честь [[Ерміт Шарль|Шарля Ерміта]]) чи ''само-спряженою'', якщо вона дорівнює своїй [[ермітово-спряжена матриця|ермітово-спряженій матриці]], тобто

<math>\ A=A^* \!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(у фізичній нотації: <math>\ A^+=A \!</math>).

Це еквівалентно до системи рівняннь <math>a_{ij}=\overline{a_{ji}}</math> для елементів матриці <math>\ A. \!</math>

* [[Жорданова форма]] ермітової матриці [[діагональна матриця|діагональна]].

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та [[антиермітова матриця|антиермітової матриць]]:

:<math>\ H_1^* = H_1, \; H_2^* = H_2 \!</math> &nbsp;&nbsp; — ермітові матриці,

:<math>\ {(i H_2)}^* = -i H_2 \!</math> &nbsp;&nbsp; — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця <math>\ A \!</math> є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці <math>\ H_1, H_2 \!</math> [[переставні матриці|переставні]]:

:<math> A^*A=AA^* \; \iff \; H_1H_2=H_2H_1.</math>