Рівняння Ейнштейна: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 46:
Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть приситні другі похідні від <math>g_{00}</math>, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).
Тензор Рімана <math>R_{pijk}</math> має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу <math>T_{ij}</math> з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму дугих похідних від гравітаційного потенціалу <math>\phi</math> (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора <math>R^s_{\; ijk}</math> по індексах <math>(sj)</math> дає тензор Річчі R_{ik}:
: <math>(14) \qquad R_{ik} = R^s_{\; isk}</math>
Цей тензор симетричний і має два індекса, як і в тензора енергії-імпульса <math>T_{ij}</math>. Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор <math>g_{ij}</math> на скалярну кривину <math>R</math>, яка є згорткою тензора Річчі:
: <math>(15) \qquad R = g^{ij} R_{ij}</math>
Отже природніми кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:
: <math>(16) \qquad \alpha R_{ij} + \beta R g_{ij} = k T_{ij}</math>
де коефіцієнти <math>(\alpha, \beta, k)</math> є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:
: <math>(17) \qquad \nabla^j T_{ij} = 0</math>
Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби [[тензор Рімана]] був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах <math>(\alpha, \beta)</math>. Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані [[Диференціальна тотожність Біанкі|диференціальною тотожністю Біанкі]]:
: <math>(18) \qquad \nabla_i R_{jkpq} + \nabla_j R_{kipq} + \nabla_k R_{ijpq} = 0</math>
Згорнемо цю тотожність спочатку по індексах <math>(k, q)</math>, а потім по <math>(j,p)</math>:
: <math>(19) \qquad \nabla_i R_{jp} - \nabla_j R_{ip} + \nabla^k R_{ijpk} = 0</math>
: <math>(20) \qquad \nabla_i R - \nabla_j R_{ij} - \nabla^k R_{ik} = 0</math>
Із останньої рівності, перейменувавши індекс, по якому проходить згортка, ми можемо виразити дивергенцію тензора Річчі <math>\nabla^j R_{ij}</math> через градієнт скалярної кривини <math>\nabla_i R</math>:
: <math>(21) \qquad \nabla^j R_{ij} = {1 \over 2} \nabla_i R</math>
Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):
: <math>(22) \qquad \nabla^j \left (\alpha R_{ij} + \beta R g_{ij} \right ) =
{\alpha \over 2} \nabla_i R + \beta \nabla_i R = ({\alpha \over 2} + \beta) \nabla_i R = 0</math>
Ця рівність (закон збереження енергії-імпульса) буде тотожно задовольнятися, якщо коефіцієнт <math>\beta</math> дорівнює:
: <math>(23) \qquad \beta = - {\alpha \over 2}</math>
Ясно, що тепер коефіцієнт <math>\alpha</math> не може дорівнювати нулю (інакше з врахуванням (23) і (16) тензор <math>T_{ij}</math> був би тотожним нулем). Поділимо рівність (16) на <math>\alpha</math> і перепозначимо поки-що невідому константу <math>k</math>. В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:
: <math>(24) \qquad R_{ij} - {1 \over 2} R g_{ij} = k T_{ij}</math>
Нам залишилось знайти константу <math>k</math>. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу <math>\nabla^2 \phi</math> і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти <math>g_{00}</math> метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті ''[[Слабке гравітаційне поле]]''.
== Розв'язки ==
| |||