Математичне сподівання: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
+Категорія:Термінологія азартних ігор; ±Категорія:Теорія ймовірностей→Категорія:Теорія розподілів імовірності з допомогою [[ВП:HC... |
Немає опису редагування |
||
Рядок 26:
== Означення 2 ==
Нехай [[Випадкова величина|випадкова змінна]] <math>\xi</math> задана [[Густина імовірності|густиною розподілу ймовірностей]] : <math>p_{\xi}(x)\,</math>, <math>(x_{min}<x<x_{max})</math>.
* Математичним сподіванням такої числової змінної <math>\xi</math>, якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:
Рядок 40:
== Деякі формули для обчислення математичного сподівання ==
Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним [[інтеграл Лебега-Стілтьєса|інтегралом Лебега-Стілтьєса]]. Розглянемо випадок композиції [[борелівська функція|борелівської функції]] <math>f</math> та випадкової величини <math>\xi</math> :
:<math>\operatorname {E}(f\circ\xi)=\int_{X}f(x)dF_\xi(x)</math>,
де <math>F_\xi (x)</math> — [[функція розподілу ймовірностей|функція розподілу]] [[випадкова величина|випадкової величини]] <math>\xi</math>.
Від цієї залежності приходимо до такої формули:
Рядок 52:
== Деякі властивості математичного сподівання ==
# Якщо <math>\displaystyle \xi</math> та <math>\displaystyle \eta</math> — незалежні інтегровні [[випадкова величина|випадкові величини]], то <math>\displaystyle \operatorname{E}(\xi\cdot\eta)=\operatorname{E}(\xi)\cdot \operatorname{E}(\eta)</math>.
# Якщо <math>\displaystyle \xi</math> та <math>\displaystyle \eta</math> — інтегровні випадкові величини, то <math>\displaystyle \operatorname{E}(\xi+\eta)=\operatorname{E}(\xi)+\operatorname{E}(\eta)</math>.
# Якщо <math>\displaystyle \xi</math> — інтегровна випадкова величина, <math>C\in\mathbb{R}</math> то <math>\operatorname{E}(C\xi)=C\cdot \operatorname{E}(\xi)</math>.
== Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання ==
Нехай [[випадкова величина]] <math>\displaystyle \xi</math> розподілена за [[Розподіл Коші|законом Коші]] з параметрами <math>\displaystyle a</math> та <math>\displaystyle b</math> , тобто <math>\mathcal{L}(\xi)=K(a,b)</math>. Ця випадкова величина має щільність:
: <math>p_\xi(x)=\frac{b}{\pi ((x-a)^2+b^2)}</math>.
Рядок 67:
:: <math>=b\int_{X}\frac{x-a+a}{\pi ((x-a)^2+b^2)}=\frac{b}{2\pi}\ln((x-a)^2+b^2)+a\arctan{\frac{x-a}{b}}\bigg|_{x_{min}}^{x_{max}}</math>.
Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини <math>\displaystyle \xi</math>.
== Джерела інформації ==
| |||