|
[[Файл:Euclid.jpg|right|thumb|250px|[[Евклід]], математик що жив у [[Стародавня Греція|Давній Греції]] в [[3 ст. до н. е.]] роботи [[Рафаель|Рафаеля]]]]
'''Матема́тика''' ({{lang-el|μάθημα}} — наука, знання, вивчення) — [[наука]], яка первісно виникла як один з напрямків пошуку [[істина|істини]] (у [[Давньогрецька філософія|грецькій філософії]]) у сфері просторових відношень (землеміряння — [[геометрія|геометрії]]) і обчислень ([[арифметика|арифметики]]), для практичних потреб [[людина|людини]] рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух [[Фізичне тіло|фізичних тіл]]. Пізніше розвинулась у досить складну і багатогранну науку про абстрактні кількісні та якісні співвідношення, форми і структури. Загальноприйнятого визначен
* [[Стародавній Єгипет|єгипетських]], [[вавилон]]ських), що дійшли до нас, математичні знання викладалися саме в такій формі.
* '''період [[Елементарна математика|елементарної математики]]''' — тривав від 6—5 ст. до н. е. до середини [[17 століття]]. В цей період на основі невеликої кількості вихідних тверджень — [[аксіома|аксіом]] будувалася [[геометрія]] як [[дедукція|дедуктивна]] наука. Математика перестала бути безіменною наукою. З історії математики відомі імена багатьох вчених [[Стародавня Греція|давньої Греції]] ([[Фалес]], [[Піфагор]], [[Гіппократ Хіоський]], [[Демокріт]], [[Евдокс Кнідський|Евдокс]], [[Евклід]], [[Архімед]] та ін.), [[Стародавній Китай|Китаю]] ([[Чжан Цан]], [[Ген Шоу-чан]], [[Цзу Чун-чжі]] та ін.), [[Середня Азія|Середньої Азії]] ([[ель Каші Гіят|Джемшід ібн-Масуд аль-Каші]], [[Аль-Хорезмі|Мухаммед бен-Муса аль Хорезмі]] та ін.), [[Стародавня Індія|Індії]] і пізніше [[Західна Європа|Західної Європи]] ([[Лодовіко Феррарі]], [[Нікколо Тарталья]], [[Джироламо Кардано]], [[Сімон Стевін]] та ін.), що зробили значний вклад у математику.
* Третій період (середина 17 ст. — початок [[20 ст.]]) — '''період дослідження змінних величин'''. [[Природознавство]] і [[техніка]] дістали новий метод вивчення руху і зміни — [[диференціальне числення]] та [[інтегральне числення]]. Створився ряд нових математичних наук — [[теорія диференціальних рівнянь]], [[теорія функцій]], [[диференціальна геометрія]], [[варіаційне числення]] та ін., що значно розширили предмет і можливості математики. Велику роль у розвитку математики цього періоду відіграли й українські математики. [[Лобачевський Микола Іванович|Микола Лобачевський]] відкрив [[Неевклідова геометрія|неевклідову геометрію]], [[Остроградський Михайло Васильович|Михайло Остроградський]] зробив визначні відкриття в [[механіка|механіці]], [[математичний аналіз|математичному аналізі]], [[математична фізика|математичній фізиці]], [[Чебишов Пафнутій Львович|Пафнутій Чебишов]] поклав початок новому напряму в теорії функцій, зробив значні відкриття в [[теорія чисел|теорії чисел]], [[теорія ймовірностей|теорії імовірностей]], механіці, наближеному аналізі. До цього ж періоду відноситься діяльність таких видатних вчених, як [[Ляпунов Олександр Михайлович|Олександр Ляпунов]], [[Марков Андрій Андрійович|Андрій Марков (старший)]], [[Вороний Георгій Феодосійович|Георгій Вороний]] та багатьох інших.
* Четвертий період — '''період сучасної математики''' — характеризується свідомим і системанням можливих типів кількісних співвідношень і просторових форм. У [[геометрія|геометрії]] вивчається вже не лише тривимірний простір, а й ін. подібні до нього просторові форми. Характерними напрямами розвитку математики цього періоду є [[теорія множин]], [[функціональний аналіз]], [[математична логіка]], сучасна алгебра, [[теорія імовірностей]], [[топологія]] тощо.
З 17 століття розвиток математики істотною мірою взаємокоординується з розвитком [[фізика|фізики]], [[механіка|механіки]], низки технічних дисциплін, зокрема [[Гірнича справа|гірництва]]. Математика широко застосовується, наприклад, для складання та опрацювання математичних моделей [[технологічний процес|технологічних процесів]].тичним вивче
== Цілі та методи ==
Математика вивчає уявні, ідеальні [[об'єкт (філософія)|об'єкти]] та співвідношення між ними, використовуючи формальну мову. Однак усі досліджувані математикою об'єкти мають прообрази в реальному світі, більш-менш схожі на свої [[Математична модель|математичні моделі]]. Модель об'єкта враховує не всі його риси, а тільки найпотрібніші для мети [[дослідження]]. Наприклад, вивчаючи [[фізичні властивості]] [[апельсин]]а, ми можемо абстрагуватися від його [[колір|кольору]] та [[смак]]у і подати його (нехай не ідеально точно) у вигляді [[куля|кулі]]. Якщо ж нам потрібно зрозуміти, скільки апельсинів ми отримаємо, якщо складемо докупи два і три, — то можна абстрагуватися і від форми, залишивши в моделі тільки одну характеристику — [[кількість]]. [[Абстракція]] та встановлення зв'язків між об'єктами в найзагальнішому вигляді — це є ціль математики.
Вивчення об'єктів у математиці відбувається за допомогою [[аксіоматичний метод|аксіоматичного методу]]: спочатку для досліджуваних об'єктів формулюється список [[аксіома|аксіом]] і вводяться необхідні означення, а потім з аксіом за допомогою [[логіка|логічних]] правил виведення одержують [[теорема|теореми]].
== Основні теми математики ==
=== Числа ===
Вивчення кількості починається з [[Числа|чисел]], спочатку із знайомих нам [[Натуральні числа|натуральних чисел]] та [[Цілі числа|цілих чисел]] та [[арифметика|арифметичних]] операцій з ними, які вивчаються в [[Арифметика|арифметиці]]. Глибші властивості цілих чисел вивчає [[теорія чисел]], до якої належить знаменита [[Велика теорема Ферма]]. До невирішених задач [[теорія чисел|теорії чисел]] належать припущення щодо [[Прості числа-близнюки|простих чисел-близнюків]] та [[Гіпотеза Гольдбаха]].
У процесі розвитку числової системи, цілі числа виявились [[Підмножина|підмножиною]] [[Раціональні числа|раціональних]]
=== Перетворення ===
{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20"
| <math>36 \div 9 = 4</math> || [[Файл:Integral as region under curve.svg|96px]] || [[Файл:Vector field.svg|96px]] || <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math>
|-
| [[Арифметика]] || [[Диференціальне числення|Диференціальне]] та [[інтегральне числення]] || [[Векторний аналіз]] || [[Математичний аналіз]]
|-
|| <math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> || [[Файл:Limitcycle.svg|96px]] || [[Файл:LorenzAttractor.png|96px]]
|-
|| [[Диференціальне рівняння|Диференціальні рівняння]] || [[Динамічна система|Динамічні системи]] || [[Теорія хаосу]]
|}
: [[Арифметика]] — [[Векторний аналіз]] — [[Математичний аналіз]] — [[Теорія міри]] — [[Диференціальне рівняння|Диференціальні рівняння]] — [[Динамічна система|Динамічні системи]] — [[Теорія хаосу]] — [[Список функцій]]
=== Структури ===
{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[Файл:Elliptic curve simple.svg|128px]] || [[Файл:Rubik's cube.svg|128px]] || [[Файл:Group diagdram D6.svg|128px]] || [[Файл:Lattice of the divisibility of 60.svg|128px]]
|-
| [[Комбінаторика]] || [[Теорія чисел]] || [[Теорія груп]] || [[Теорія графів]] || [[Відношення порядку|Теорія порядку]]
|}
: [[Абстрактна алгебра]] — [[Теорія груп]] — [[Алгебраїчна структура|Алгебраїчні структури]] — [[Алгебраїчна геометрія]] — [[Теорія чисел]] — [[Топологія]] — [[Лінійна алгебра]] — [[Універсальна алгебра]] — [[Теорія категорій]] — [[Теорія послідовностей]]
=== Просторові відношення ===
Дослідження [[простір|простору]] спричинило до виникнення [[Геометрія|геометрії]], зокрема [[Евклідова геометрія|Евклідової геометрії]]. [[Тригонометрія]] — це розділ математики, що має справу з відношеннями між сторонами та [[кут]]ами в [[трикутник]]у та з [[Тригонометричні функції|тригонометричними функціями]]; тут простір виражений в числах, до цього розділу входить знаменита [[Теорема Піфагора]]. Сучасні дослідження простору узагальнюють ці ідеї та включають багатовимірну геометрію, [[Неевклідова геометрія|неевклідові геометрії]] (які грають центральну роль в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]]) та [[Топологія|топологію]]. Кількісні та просторові характеристики разом досліджуються в [[Аналітична геометрія|аналітичній геометрії]], [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] та [[Алгебрична геометрія|алгебричній геометрії]]. [[Конвексна геометрія]] та [[Дискретна диференціальна геометрія|дискретна геометрія]] були розроблені, щоб розв'язати задачі в [[Теорія чисел|теорії чисел]] та [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]], але тепер знайшли своє застосування в [[Оптимізація (математика)|оптимізації]] та [[Інформатика|інформатиці]].
{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15"
| 