Теорема Веддерберна — Артіна: відмінності між версіями

# R — просте і ліве [[Кільце Артіна|артинове кільце]];

(1) -> (2). Нехай <math>Rc</math> — мінімальний лівий ідеал <math>R</math>. Зважаючи на простоту <math>R</math> маємо <math>R = RcR = \sum Rca_i</math> де <math>a_i</math> є елементами <math>R</math>. Лівий ідеал <math>Rca_i</math> є образом <math>R_c</math> при гомоморфному відображенні <math>rc \to rca_i</math> тому, враховуючи мінімальність ідеалаідеалу <math>Rc</math>, або <math>Rca_i = 0</math> або <math>Rca_i = Rc.</math> Тому <math>R</math> є сумою лівих ідеалів ізоморфних <math>Rc</math> і тому з властивостей [[Напівпростий модуль|напівпростих модулів]] <math>R</math> є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий <math>R</math>-модуль є ізоморфний як модуль фактору <math>R</math> по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки <math>R</math> є [[Скінченнопороджений модуль|скінченнопородженим]] (елементом 1) лівим <math>R</math>-модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал <math>U</math> і припустимо що <math>R = U^n</math>. Згідно [[Лема Шура|леми Шура]], <math>D = End_R\operatorname{End}_R(U)</math> є тілом; Тоді <math>End_R\operatorname{End}_R(U^n) \cong M_n(D)</math> і <math>End_R\operatorname{End}_R(R) \cong R</math>; тож <math>R = M_n(D)</math>, що і треба було довести. Тут <math>n</math> є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів <math>R</math> як лівого <math>R</math>-модуля, а <math>D</math> є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих <math>R</math>-модулів.

(3) => (1). <math>D_n = M_n(D)</math> має скінченну розмірність як лівий <math>D</math>-[[векторний простір]]; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і <math>D_n</math> є лівим артиновимартіновим модулем. Щоб довести, що <math>D_n</math> є простим модулем, візьмемо будь-який <math>a = (a_{ij}) \neq 0</math>, наприклад <math>a_{rs} \neq 0</math>. Тоді <math>e_{ir}ae_{sj}a_{rs}^{-l} = e_{ij}</math>, тож ідеал породжений <math>a</math> містить всі <math>e_{ij}</math> і тому є рівним <math>D_n</math>. Це показує, що <math>D_n</math> є простим кільцем. Оскільки умова (c) є симетричною щодо лівих правих ідеалів , (a°) і (b°) також виконуються.

Усі ліві напівпрості кільця є скінченними добутками повних матричних кілець над тілами: <math>M_{n_1}(D_1) \times M_{n_2}(D_2) \times \ldots \times M_{n_r}(D_r) </math>, де <math>n_i</math> і типи ізоморфізму <math>D_i</math> однозначно визначаються <math>R</math>. Навпаки, кожне кільце такого виду є напівпростим. Зокрема, кожне ліве напівпросте кільце є правим напівпростим і (лівим і правим) артиновимартіновим.

Оскільки <math>R</math> є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то <math>R = H_1 \oplus \ldots \oplus H_r</math> де <math>H_i \cong I^{n_i}</math> і <math>I^{n_i}</math> є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно [[Лема Шура|леми Шура]], <math>End_R\operatorname{End}_R I_i = D_i</math> є тілом. Тоді також <math>End_R\operatorname{End}_R(H_i) = M_{n_i}(D_i)</math>. Оскільки всі <math>H_i</math> є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо <math>R \cong End_R\operatorname{End}_R(R) \cong \prod M_{n_i}(D_i)</math>. Тут <math>n</math>, і nbgтип ізоморфізмeізоморфізму <math>D</math>, визначаються типом компоненти <math>H_i</math>.

Навпаки, для будь-якого тіла <math>D</math> і довільного <math>n \geqslant 1</math>, маємо <math>M_{n}(D) \cong I^n</math>, де <math>I</math> є мінімальним лівим <math>D</math>-модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця <math>M_n(D)</math>. Тож <math>\prod M_{n_i}(D) \cong \oplus I^{n_i}</math> є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артиновимартіновим.