Вікіпедія

Ланцюгова лінія: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Kseniajasko (обговорення | внесок)
33 редагування
мНемає опису редагування
Kseniajasko (обговорення | внесок)
33 редагування
Немає опису редагування
Рядок 8:
* Проекція ординати довільної точки ланцюгової лінії на нормаль у цій точці є сталою величиною і дорівнює <math>a</math>.
* Радіус [[Кривина (математика)|кривини]] ланцюгової лінії в будь-якій її точці можна обчислити за формулою: <math display="inline">R = {y^2 \over a} = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a} </math>.
* Площа фігури, обмеженої ланцюговою лінією, заданою на проміжку <math>(x_{1}; x_{2})</math> і віссю абсцис, дорівнює <math display="inline">S=a^{2}\bigg({\operatorname{sh }x_{2} \over a} -{\operatorname{sh} x_{1} \over a} \bigg) = a \bigg(\sqrt{y_{2}^{2}-a^{2}}-\sqrt{y_{1}^{2}-a^{2}} \bigg)</math>.
* Якщо дугу ланцюгової лінії обертати навколо осі <math>Ox</math>, то утвориться поверхня обертання, яка називається ''[[Катеноїд|катеноїдом]].''
 
Рядок 25:
В області техніки ланцюгова лінія використовується в розрахунках, пов'язаних з провисанням ниток - проводів, тросів і т. д.
 
При виведенні рівняння ланцюгової лінії зазначається, що <math>a = {T \over \gamma}</math> , де <math>T</math> - натяг нитки в вершині, а <math>\gamma</math> - питома щільність матеріалу, з якого зроблена нитка. Далі, горизонтальна складова сили натягу <math>t</math> в довільній точці ланцюгової лінії  визначалася виразом <math>tcost\operatorname{cos}{a}</math>, і в силу рівноваги нитки отримувалася рівність <math>tcost\operatorname{cos}{a} = T</math>. Виключаючи ''<math>T</math>'' з цієї рівності та попередньої, отримуємо<math display="block">t = {{a~\gamma} \over {cosa\operatorname{cos}a}}=a~\gamma~{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^{2}a}}=a~\gamma~{\sqrt{{1+y'}^{2}}}=a~\gamma~{\operatorname{ch} {x \over a}} = \gamma ~y, </math>
тобто, ''сила натягу'' <math>t</math> ''в довільній точці ланцюгової лінії дорівнює вазі частини нитки, довжина якої дорівнює ординаті цієї точки.''
 
Говорячи про застосування ланцюгової лінії в техніці, варто згадати про так звані ''лінії склепінь'', що має рівняння                      [[Файл:GoldenGateBridge-001.jpg|міні|287x287пкс|Міст «Золота Брама»]]<math display="block">y = c \bigg(e^{x \over a} + e^{-{x \over a}}\bigg).</math>[[Файл:GoldenGateBridge-001.jpg|міні|287x287пкс|Міст «Золота Брама»]]Цю криву можна отримати афінним перетворенням звичайної ланцюгової лінії. Вона знаходить застосування в будівельній техніці при проектуванні склепінь.
 
=== Проектування арок та будівництво мостів ===
Ланцюгова лінія  використовується в будівництві арок (оскільки форма арки  у вигляді перевернутої ланцюгової лінії найбільш вдало розподіляє навантаження), при будуванні мостів, при розрахунках, пов’язаних із провисанням проводів, канатів  (однорідний канат або ланцюг вільно підвішений за свої кінці, набуває форми графіка гіперболічного косинуса, який ще називають ланцюговою лінією).
 
[[Файл:CatenaryKilnConstruction06025.JPG|міні|288x288пкс|Піч у формі ланцюгової лінії]]
Перевернута ланцюгова лінія - ідеальна форма для арок. Однорідна арка у формі перевернутої ланцюгової лінії відчуває тільки деформації стиску, але не зламу.
 
Форма ланцюгової лінії постійно  змінюється під впливом різних випадкових і невипадкових факторів, тому теоретично складно виявити закономірність цієї зміни. Для відносно коротких робочих ланцюгів та невеликих провисань ланцюгову лінію можна замінити параболою .
 
На арці Саарінена в Сент-Луїсі  написана її формула в футах :      [[Файл:CatenaryKilnConstruction06025.JPG|міні|288x288пкс|Піч у формі ланцюгової лінії]]<math display="block">y = - 127,7' ~\operatorname{ch} \bigg({x \over 127,7'}\bigg)+ 757,7',</math>
У метрах це<math display="block">y = - 44,44~ \operatorname{ch} \bigg({x \over 44,44}\bigg)+ 263.</math>Ця арка була спроектована одним з найвідоміших архітекторів США Еро Сааріненом  у співпраці з математиком і інженером Ганнскарлом Бандель. За підказкою Бандель та Саарінен вибрали для своєї арки форму ланцюгової лінії, висота якої дорівнювала ширині біля основи.
 
"Горбатий" міст має форму, близьку до ланцюгової лінії.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Ланцюгова_лінія