Границя числової послідовності: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 11:
При цьому також кажуть, що ''послідовність <math>\{ a_n : n \geq 1 \} </math> збігається до числа a'', або ''має границю a''. Послідовність, що збігається до деякої границі називається ''збіжною'', в інших випадках — ''розбіжною''.
==Дійсні числа==
[[File:Converging Sequence example.svg|320px|thumb|Графік послідовності {''a<sub>n</sub>''}, що збігається показано синім. Наочно ми бачимо, що послідовність збігається до границі, що дорівнює 0 при зростанні ''n''.]]
Для [[Дійсні числа|дійсних чисел]], число <math>L</math> є '''границею''' [[Послідовність|послідовності]] <math>(x_n)</math> якщо числа в цій послідовності стають все ближчими і ближчими до <math>L</math> і більше ні до якого іншого числа.
===Приклади===
*Якщо <math>x_n = c</math> при сталому значенні ''c'', тоді <math>x_n \to c</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = 1</math>. Для кожного every <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - c| = 0 < \epsilon</math></ref>
*Якщо <math>x_n = \frac1{n}</math>, тоді <math>x_n \to 0</math>.<ref group=Доказ>''Доказ'': нехай <math>N = \left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor</math> + 1 ([[Ціла частина числа|ціла частина з округленням вниз]]). Для кожного <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac1{\lfloor1/\epsilon\rfloor + 1} < \epsilon</math>.</ref>
*Для будь-якого даного дійсного числа, можна побудувати послідовність яка буде збігатися до даного числа за допомогою десяткового наближення. Наприклад, послідовність <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> буде збігатися до <math>1/3</math>. Варто відмітити, що десяткове представлення <math>0.3333...</math> є ''границею'' іншої послідовності, яка визначається наступним чином
:<math> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
*Процедура знаходження границі послідовності не завжди очевидна. Двома такими прикладами є <math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (границею якого є [[e (число)|число ''e'']]) і границя [[Середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]]. Часто корисною для вирішення таких задач є [[стискна теорема]].
===Доведення===
{{Reflist|group=Доказ}}
== Література ==
| |||