Вікіпедія

Підмножина: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
JAnDbot (обговорення | внесок)
Боти
54 064 редагування
м робот змінив: he:תת-קבוצה
м Суміш розкладок, Replaced: елементиT → елементиТ за допомогою AWB
Рядок 2:
 
Якщо <i>X</i> та <i>Y</i> - [[множина|множини]] та будь-який елемент із <i>X</i> є також елементом із <i>Y</i>, то говорять, що:
* <i>X</i> є підмножиною (''частиною'') <i>Y</i>, позначення — <i>X</i> &sube;⊆ <i>Y</i>;
* <i>Y</i> - '''надмножина''' (''охоплююча множина'') <i>X</i>, позначення — <i>Y</i> &supe;⊇ <i>X</i>.
 
 
Кожна множина <i>Y</i> є підмножиною себе самої.
Підмножина <i>Y</i>, яка не співпадає з <i>Y</i> називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) <i>Y</i>.
Якщо <i>X</i> - точна підмножина <i>Y</i>, то цей факт записується як <i>X</i> &sub;⊂ <i>Y</i>.
[[Бінарне відношення|Відношення]] "бути підмножиною" має назву '''включення'''.
 
Рядок 14:
 
Існують дві системи позначень відношень включення
Старіша система використовує символ "&sub;⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "&#8842;⊊" для позначення точної підмножини.
Нова система використовує "&sube;⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "&sub;⊂" для позначення точної підмножини.
 
== Приклади ==
Рядок 22:
* Множина [[натуральне число|натуральних чисел]] є точною підмножиною множини [[раціональне число|раціональних чисел]].
* Будь-яка множина є своєю підмножиною, але не точною.
* [[Порожня множина]] &empty;∅ є також точною підмножиною будь-якої множини.
 
==Властивості==
Рядок 28:
'''ТВЕРДЖЕННЯ 1''': [[Порожня множина]] є підмножиною всякої множини.
 
Доведення: Для довільної множини <var>A</var> потрібно довести, що &empty;∅ є підмножиною <var>A</var>. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиTелементиТ &empty;∅ є також елементами <var>A</var>. Але в &empty;∅ не існує жодного елемента.
 
Пояснимо: завдяки тому, що в &empty;∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотнього, що &empty;∅ не є підмножиною <var>A</var>, нам потрібно було б знайти такий елемент &empty;∅, який не є одночасно елементом <var>A</var>. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.
 
'''ТВЕРДЖЕННЯ 2''': Якщо ''A'', ''B'' та ''C'' є множини, тоді справедливі наступні властивості відношення включення:
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Підмножина