Тавтологія (логіка): відмінності між версіями

В логіці, '''тавтологія''' (від грецького слова ταυτολογία) є {{Не перекладено|Правильно побудована формула|формула||Well-formed formula}}, правдива у всіх можливих [[Інтерпретація (логіка)|інтерпретаціях]]. Філософ [[Людвіг Вітґенштайн]] вперше застосував цей термін для скорочень в [[Числення висловлень|логіці висловлень]] в [[1921]] (він використовувався раніше для позначення [[Тавтологія (риторика)|тавтологій в риториці]], і продовжує використовуватися в цьому альтернативному сенсі). Формула {{Не перекладено|Здійсненність|здійсненна||Satisfiability}}, якщо вона вірна хоча б в одній інтерпретації, і, тоді, тавтологія є формула для якої заперечення нездійсненне. Нездійсненне твердження, утворене як заперечення твердження, формально є [[протиріччя]]м. A формули які не є ні тавтологією, ні протиріччям, є логічно не протирічними. Такa формула може бути істинною або хибною на підставі значень, приписаних його пропозиційним змінним. Подвійний турнікет позначення <math>\vDash S</math> використовується для вказівки, що S є тавтологія. Тавтологію іноді позначають як «Vpq», а суперечність як «Opq». Символ трійник <math>\top</math> іноді використовується для позначення довільної тавтології, а дуальний символ <math>\bot</math> (константа, ''брехняхибність'') представляє довільне [[протиріччя]].

Логіка висловлювань починається з пропозиціональних змінних, атомних одиниць, які представляють конкретні пропозиції. Формула складається з пропозиціональних змінних, пов'язаних логічними зв'язками, так, що істина може в цілому однозначно виводиться з істинності чи хибності кожної змінної. Оцінка є [[Функція|функцією]], яка присвоює кожній пропозиціональній змінні або T (істина) або F (для брехняхибність). Так, наприклад, за допомогою пропозиціональних змінних A і B, двійкові зв'язки <math>\lor</math> і <math>\land</math>, що представляють [[Диз'юнкція (логіка)|диз'юнкцію]] і [[Кон'юнкція|кон'юнкцію]] відповідно, і унарний сполучник <math>\lnot</math>, що представляє [[заперечення]], наступна формула може бути ::<math>(A \land B) \lor (\lnot A) \lor (\lnot B)</math>. Тут оцінку необхідно призначити кожному з А і В або Т або F. Але незалежно від того, як це призначення зроблено, загальна формула не вийде такою, якщо перше з'єднання <math>(A \land B)</math> не задовольняє певну оцінку.