Евклідова геометрія: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Мітки: Редагування з мобільного пристрою Редагування через мобільну версію |
Немає опису редагування |
||
Рядок 4:
'''Евклі́дова геоме́трія''' — [[геометрія|геометрична]] [[теорія]], заснована на [[система аксіом|системі аксіом]], вперше викладеній у підручнику ''[[Начала Евкліда|«Началах»]]'' [[Евклід]]а ([[Давньогрецька мова|давньогрецькою]]: Στοιχεῖα Stoicheia, [[III століття до н. е.]]). Метод Евкліда полягає в припущенні невеликого набору оскаржених аксіом і виведення з них багатьох інших [[теорема|теорем]]. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжних дедуктивній та логічній [[Система|системах]]. ''Начала'' починаються з [[планіметрія|планіметрії]], яка і до сьогодні вивчається у середній школі як [[аксіоматика]] і базується на [[доведення|доведеннях]]. Це йде до [[Стереометрія|стереометрії]]. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають [[Алгебра|алгеброю]] та [[Теорія чисел|теорією чисел]].
Більше двох тисяч років прикметник "евклідова" був непотрібним, оскільки жодна інша форма геометрії ще не існувала. Аксіоми Евкліда здавались настільки очевидними (за винятком паралельного постулату), що будь-яка теорема, що випливала з них, вважалася вірною в абсолютному, часто [[метафізика|метафізичному]] сенсі. Сьогодні відомо багато інших
Евклідова геометрія є прикладом [[Synthetic geometry|аналітичної геометрії]], оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання [[Система координат|координат]](на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує).
Рядок 36:
==Система вимірювання та арифметика==
Евклідова геометрія має два основних типи вимірювань: [[Кут|кут]] і [[Відстань|відстань]]. Кутова шкала абсолютна, і Eвклід використовує
Виміри [[Площа|площі]] та обсягу визначаються на відстані. Наприклад, [[Прямокутник|прямокутник]] з шириною 3 і довжиною 4 має ділянку, яка дорівнює 12. Через те, що ця геометрична інтерпретація множення була обмежена трьома вимірами, не було прямого способу інтерпретації добутку з чотирьох або більше значень, і Евклід уникав таких пюдобутків, хоча саме вони вказані у доведенні книги IX, пропозиції 20.
[[File:Congruentie.svg|thumb|Приклад конгруентності: дві фігури ліворуч є конгруентними, а третя - подібною до них. Остання фігура не конгруентна з ними. Конгруенти змінюють деякі властивості, такі як місце розташування та орієнтація, але залишають інші незмінними, наприклад, відстань та кути. Останні властивості називаються інваріантами, і їх вивчення є сутністю геометрії.]]
Евклід трактує пари ліній або пари фігур на площині як "рівних" (ἴσος), якщо їх довжини, площі чи обсяги рівні і аналогічно для кутів. Термін "[[Конгруентність|конгруентний]]" означає, що одна фігура однакова за розміром і формою щодо іншої фігури. Аналогічно, дві фігури є конгруентними, якщо їх можна переміщувати одну відносно одної(допускається віддзеркалення фігури. Наприклад, прямокутник 2x6 і прямокутник 3x4 рівні, але не збігаються, а буква R дорівнює її дзеркальному зображенню. Фігури, що будуть конгруентними, за винятком їх різного розміру, називаються [[Подібність (геометрія)|подібними]]. Відповідні кути в парі подібних фігур є конгруентними, а відповідні сторони пропорційні одна одній.
==Позначення та термінологія==
Рядок 50:
===Комплементарні та суміжні кути===
Кути, сума яких є прямим кутом, називаються [[Комплементарні кути|комплементарними]]. Комплементарні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку, що знаходиться між двома вихідними променями, які утворюють правий кут. Кількість променів між двома променями є нескінченною.
Кути, сума яких дорівнює 180 градусів, називають [[Суміжні кути|суміжними]]. Суміжні кути утворюються, коли промінь ділиться однією вершиною і орієнтований у напрямку між двома вихідними променями, які утворюють прямий кут (кут 180 градусів). Кількість променів між двома оригінальними променями єнескінченною.
===Сучасні версії фігур Евкліда===
У сучасній термінології кути, як правило, вимірюються в [[Градус|градусах]] чи в [[Радіан|радіанах]].
Сучасні шкільні підручники часто визначають окремі фігури: [[Лінія|лінії]] (нескінченні), [[Промінь|промені]] (напівнескінченні) та лінійні [[Сегмент (геометрія)|сегменти]] (кінцевої довжини). Евклід, замість того, щоб говорити про промінь як про об'єкт, що поширюється до нескінченності в одному напрямку, зазвичай використовує такі означення, як "лінія, проведена до достатньої довжини", хоча іноді вона називається "нескінченною". "Лінія" в "Началах" може бути як прямою, так і криволінійною, і при необхідності він використовував більш конкретний термін "пряма лінія".
== Деякі важливі або відомі результати ==
<gallery perRow="4">
File:pons_asinorum_dzmanto.png| '''Теорема про [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедренний трикутник]]''' чи '''Теорема про міст віслюків''' вказує на те, що в рівнобедреному трикутнику, α = β і γ = δ.
File:Sum_of_angles_of_triangle_dzmanto.png|'''Tеорема про суму кутів у трикутнику''' доводить, що сума трьох кутів будь-якого трикутника (у цьому випадку кутів α, β і γ) завжди дорівнює 180 градусів.
File:Pythagorean.svg|'''[[Теорема Піфагора]]''' вказує на те, що сума квадратів катетів (''a'' і ''b'') дорівнює квадрату гіпотенузи(''c'').
File:Thales' Theorem Simple.svg|'''[[Теорема Фалеса]]''' говорить, що якщо AC - це діаметр, то кут у АBС - прямий.
</gallery>
=== Теорема про рівнобедренний трикутник ===
{{lang-enPons asinorum|Теорема про міст віслюків}} стверджує, що трикутник, в якому дві сторони(бічні) рівні між собою, а також кути при основі рівні між собою, називають рівнобедренним. За означенням, правильний трикутник також є рівнобедреним, але обернене твердження не є правильним. Її ім'я може бути так названо, тому що, геометрична фігура схожа на крутий міст, водночас схожу лише на віслюка.
== Див. також ==
* [[Аксіоматика Гільберта]]
| |||