Проблеми Гільберта: відмінності між версіями

|непротиворечивостьнесуперечливість аксіом арифметики.

|равносоставностьрівноскладеність рівновеликих [[багатогранник]]овів

|bgcolor="#FFE2B6"|'''занадто&nbsp;розпливчаста'''<ref>Згідно Рову (Rowe) і ГріюГрею (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». РівРов і ГрійГрей говорять про четверту проблему як про такийтаку, котраяка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, вирішенарозв'язана вона, абочи немаєні.</ref>

|перечислитьперерахувати [[метрика|метрики]], у яких прямі є [[геодезическаягеодезична|геодезическимигеодезичними]]

|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана''' чи

|всеЧи всі безперервнінеперервні [[група (математика)|группыгрупи]] є [[група Ли|группамигрупами ЧиЛі]]?

|математическоематематичний виклад аксіом фізики

|доказатьдовести, що число <math>2^{\sqrt{2}}</math> є трансцендентним (або хоча би ірраціональним). <ref>ВирішенаРозв'язана ЗигелемЗігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у більш загальному видівигляді: якщо ''а'' ?≠ 0, 1 — [[алгебраїчне число]], і ''b'' — алгебраїчне, але ірраціональне, тето ''a^b'' — [[трансцендентне число]]</ref></td>

|bgcolor="#FFB2B2"|'''открытавідкрита'''<ref>Проблема №&nbsp;8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються невирішениминерозв'язаними. Перша з них, [[гіпотезаГіпотеза РиманаРімана]], є однієїоднією із семи [[МатематичнийПроблеми інституттисячоліття Клэя|проблем тисячоріччятисячоліття]], що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття</ref>

|проблема простих чисел ([[гіпотеза РиманаРімана]] і [[проблема Гольдбаха]])

|bgcolor="#FFFFB2"|'''частичночастково&nbsp;вирішенарозв'язана'''<ref>Проблема №&nbsp;9 була вирішенарозв'язана для абелевого случаючивипадку; неабелевнеабелевий випадок залишається невирішенимнерозв'язаним</ref>

|доказательствоДоведення найбільш загального закону взаємності в будь-якому числовому полі

|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref>[[МатиясевичМатіясевич, Юрій ВладимировичВолодимирович|юрийЮрій МатиясевичМатіясевич]] у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне диофантоводіофантове рівняння розв'язним</ref>

|задача про можливість розв'язання [[диофантоводіофантове уравнениерівняння|диофантовых діофантових рівнянь]]

|исследованиеВивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами

|bgcolor="#FFB2B2"|'''открытавідкрита'''

|распространениепоширення теореми Кронекера про абелевыхабелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності

|невозможностьнеможливість рішеннярозв'язання загального рівняння сьомого ступенястепеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох переміннихзмінних

|доказательствоДоведення кінцевої порожденностискінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи<ref>Твердження про кінцевий порожденностискінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивныхредуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад унипотентнойуніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є звичайно породженоюскінченнопородженою. В.Л. Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на аффинномафінному алгебраїчному різноманітті звичайномноговиді породженаскінченнопороджена, то група G редуктивна.</ref>

|bgcolor="#FFFFB2"|'''частичночастково&nbsp;вирішенарозв'язана'''

|строгоеСтроге обґрунтування исчислительнойобчислювальної геометрії Шуберта

|bgcolor="#FFFFB2"|'''частичночастково&nbsp;вирішенарозв'язана'''<ref>Перша (алгебраїчна) частина проблеми №&nbsp;16 більш точно формулюється так. Харнаком доведенедоведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують — нихїх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривійкривої? Ця задача зроблена до ступенястепеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані — див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (утімвтім, варто враховувати, що в доказідоведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, рахованийякий їмвін вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритоївідкритою навіть для квадратичних векторних полів — невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема кінцівкискінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля маєтьсяє кінцевескінченне число граничних циклів) була доведена тількизовсім недавно. Вона вважалася доведеноїдоведеною Дюлаком, але в його доказідоведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена ИльяшенкоІлляшенко і ЭкалемЕкалем — для чого кожному з них довелося написати по книзі</ref>

|топологияТопологія алгебраїчних кривих і поверхонь<ref>ПриведенийНаведений переклад вихідноїпочаткової назви проблеми, даногоданий Гільбертом: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen»]{{ref-de}}. Однак, більш точно її зміст (як воноце розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів речовинногодійсної алгебраїчногоалгебраїчної кривогокривої даного ступенястепеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного ступенястепеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 англійського перекладу тексту анонса]{{ref-en}}), Гільберт вважав, що диференціальна частина (уяка в реальності оказавшаясявиявилася значно сутужнішескладнішою алгебраїчноїза алгебраїчною) буде піддаватися рішеннюрозв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив неїїї в вназваниеназву.</ref>

|представлениеПредставлення визначених форм у видівигляді суми квадратів

|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref> Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400—412.</ref><ref>Рів і Грій також називають проблему №&nbsp;18 «відкритоївідкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як [[задача Кеплера]]) не була вирішенарозв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є зведеннявідомості про те, що вона уже вирішенарозв'язана (див. далі). Просування в рішеннірозв'язанні проблеми №&nbsp;16 минулогобули зроблені в недавній час, а також в1990в 1990-х.</ref>

|конечностьСкінченність числа [[кристалографічна группагрупа|кристаллографическихкристалографічних груп]]; нерегулярні заповнення простору конгруентними багатогранникамимногогранниками; найбільш щільнащільне [[упакування куль]]

|всегдаЧи чизавжди рішеннярозв'язки регулярної варіаційної [[ЛагранжианЛагранжіан|задачизадачі Лагранжа]] є аналітичними?

|общаяЗагальна задача про граничні умови (?)

|доказательствоДоведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромиимонодромії

|униформизацияУніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфныхавтоморфних функцій

|развитиеРозвиток методів варіаційного вирахуваннячислення