Вікіпедія

Площа: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
доповнення
Рядок 3:
'''Площа''' — величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур. Історично, обчислення площі називалося [[Квадратура (математика)|квадратурою]]. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничних [[квадрат]]ів, якими фігури можна покрити.
 
Площу заведено позначати великою латинською літерою ''S'', у англомовній літературі — літерою ''A'' (від {{lang-en|area}}).
 
== Формальне визначення ==
Рядок 13:
 
Для фігур на площині, які не складаються з цілої кількості одиничних квадратів, а також для тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогою [[граничний перехід|граничного переходу]].
 
== Історична довідка ==
 
=== Площа плоских фігур ===
Протягом багатьох років площа вважалася первинним поняттям, яке не вимагає визначення. Основним завданням математиків було обчислення площі, при цьому їм були відомі основні її властивості{{sfn| Энциклопедия элементарной математики, кн. 5 |1966|с=7—13}}. У [[Математика в Стародавньому Єгипті|Стародавньому Єгипті]] використовувались точні правила обчислення площі прямокутників, прямокутних трикутників і трапецій, площа довільного чотирикутника визначалась приблизно як добуток півсум пар протилежних сторін. Застосування такої наближеної формули пов'язане з тим, що ділянки, площу яких треба було визначити, були в основному близькими до прямокутних і [[похибка]] у такому випадку залишалась невеликою. Історик математики [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]] припускає, що єгиптяни могли і не знати, що користуються наближеною формулою. У задачі 50 [[Папірус Рінда|папірусу Рінда]] використовується формула обчислення площі круга, яка вважалась рівною площі квадрата зі стороною, рівною 8/9 діаметра круга{{sfn|История математики, т. I|1970|с=30—32}}. Такими ж формулами користувались і у [[Вавилонська математика|Вавилоні]], однак для площі круга наближення було менш точним. Крім того, вавилоняни могли наближено обчислити площі [[Правильний многокутник|правильних п'яти-, шести- і семикутника]] зі стороною рівною одиниці. У [[Шістдесяткова система числення|шістдесятковій системі]] їм відповідали ''1,40'', ''2,37,20'' і ''3,41'', відповідно{{sfn|История математики, т. I|1970|с=47—53}}.
 
Основним прийомом обчислення площі при цьому була побудова квадрата, площа якого дорівнює площі заданої багатокутної фігурі, зокрема у книзі I «[[Начала Евкліда|Начал]]» [[Евклід]]а, що присвячена планіметрії прямолінійних фігур, доводиться, що трикутник є рівновеликим половині прямокутника, що має з ним одинакові основи і висоту{{sfn|История математики, т. I|1970|с=111—114}}. Метод розкладання, що ґрунтувався на тому, що дві рівноскладені фігури є рівновеликими, дозволяв також обчислити площі паралелограмів й довільних многокутників<ref name="kvant"/>.
 
Наступним кроком було обчислення площ круга, кругового сектора, лунок та інших фігур. Основу обчислень при цьому становив [[метод вичерпування]] многокутниками<ref name="mathenc">{{книга |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |частина = Площадь|місце=М. |рік=1982 |том=4 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu |видавництво=Советская Энциклопедия }}</ref><ref name="kvant">''Болтянский В.'' [http://kvant.mccme.ru/1977/05/o_ponyatiyah_ploshchadi_i_obem.htm О понятиях площади и объёма.] [[Квант (журнал)|Квант]], №&nbsp;5, 1977, c.2—9</ref>, з якого бере початок [[теорія границь]]. Метод полягає у побудові послідовності площ, які при поступовому нарощуванні «вичерпують» площу, що розглядається. Метод вичерпування, який отримав свою назву лише у XVII столітті, ґрунтується на [[Аксіома Архімеда|аксіомі неперервності Евдокса&nbsp;— Архімеда]], авторство якої приписується [[Евдокс Кнідський|Евдоксу Кнідському]], котрий за її допомогою показав, що площі кругів відносяться одна до одної як квадрати їх діаметрів. Метод описаний у «Началах» Евкліда: аксіома Евдокса сформульована у книзі V, а сам метод вичерпування і відношення, що ґрунтуються на ньому&nbsp;— у книзі XII{{sfn|История математики, т. I|1970|с=111—114}}. Більшої досконалості у застосуванні методу досягнув [[Архімед]], котрий за його допомогою вирахував площу сегмента параболи та площу поверхні сфери<ref name=autogenerated1>{{книга |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |частина = Исчерпывания метод|місце=М. |рік=1982 |том=2 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu |видавництво=Советская Энциклопедия}}</ref>{{sfn|История математики, т. I|1970|с=101—105}}. Праця Архімеда «Про спіралі» містить багато тверджень, що стосуються площ різних витків спіралі та їх співвідношень{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|p=127—128}}. Архімеду належить ідея використання площ або об'ємів як вписаних, так і описаних фігур для визначення величини заданої площі чи об'єму{{sfn|История математики, т. I|1970|с=117—124}}.
 
У Стародавній Індії на початках користувались тією ж формулою для обчислення площ чотирикутників, що й єгиптяни та греки. [[Брамагупта]] використовував [[Формула Брамагупти|формулу]] для обчислення площі чотирикутників, виражену через їх півпериметр, що давала вірне значення для вписаного у коло чотирикутника. Формули обчислення площі зазвичай не доводились, але демонструвались з наочними рисунками{{sfn|История математики, т. I|1970|с=197—198}}. Формула Брамагупти є аналогом [[Формула Герона|формули Герона]] для площі трикутника, яку той навів у своїй «Метриці»{{sfn|Boyer & Merzbach|2010|p=172, 219}}.
 
Розвиток та узагальнення методу вичерпування відбулися лише у XVII столітті. У 1604 році у праці «Три книги про центр тяжіння тіл» [[Лука Валеріо]] ({{lang-it|Luca Valerio}} 1552—1618) широко використовує теорему, за якою різниця між площами вписаної і описаної фігур, складених з паралелограмів можна зробити меншою від будь-якої заданої площі{{sfn|История математики, т. II|1970|с=131—135}}. Справжній прорив було зроблено [[Йоганн Кеплер|Й. Кеплером]], якому для астрономічних розрахунків потрібно було вміти обчислювати площу еліпса. Кеплер розглядав площу як «суму ліній» і, розліновуючи еліпс з кроком у один градус, показав{{sfn|История математики, т. II|1970|с=166—171}}, що <math>\int\limits_0^\varphi \sin x dx = 1 - \cos \varphi</math>. [[Бонавентура Кавальєрі|Б. Кавальєрі]], обґрунтовуючи схожий метод, названий «[[Принцип Кавальєрі|методом неподільних]]», порівнював площі плоских фігур, використовуючи перетин фігур паралельними прямими{{sfn|История математики, т. II|1970|с=174—181}}. Застосування [[Первісна|первісної]] для знаходження площі плоскої фігури є найуніверсальнішим методом. За допомогою первісної доводиться [[принцип Кавальєрі]], за яким дві плоскі фігури мають однакову площу, якщо при перетині кожної з них прямою, паралельною до фіксованої, отримуються відрізки однакової довжини. Принцип був відомий задовго до формування інтегрального числення<ref name="mathenc"/><ref name="kvant"/>.
 
=== Площа поверхонь ===
Обчисленням площ кривих поверхонь займався Архімед, визначивши, зокрема, площу поверхні кулі {{sfn|История математики, т. I|1970|с=117—124}}. У загальному випадку для визначення площі поверхні неможливо скористатися а ні розгорткою (не підходить для сфери), а ні наближенням багатогранними поверхнями (аналогом методу вичерпування). Останнє продемонстрував [[Герман Шварц|Г. Шварц]], побудувавши для бічної поверхні циліндра послідовності, які приводять до різних результатів (так званий «[[чобіт Шварца]]»)<ref name="mathenc"/><ref>''Дубровский В. Н.'' [http://kvant.mccme.ru/1978/05/v_poiskah_opredeleniya_ploshch.htm В поисках определения площади поверхности] // [[Квант (журнал)|Квант]].&nbsp;— 1978. №&nbsp;5.&nbsp;— С.31—34.</ref>.
 
Загальний прийом обчислення площі поверхні на рубежі XIX—XX століть запропонував [[Герман Мінковський|Г. Мінковський]], який для кожної поверхні будував «огортальний шар» малої сталої товщини, тоді площа поверхні буде приблизно рівною об'єму цього шару, поділеному на його товщину. Граничне значення цього відношення при товщині шару, що прямує до нуля дає точне значення площі. Однак, для площі за Мінковським не завжди виконується властивість адитивності. Узагальнення даного визначення приводить до поняття лінії за Мінковським<ref>''Дубровский В. Н.'' [http://kvant.mccme.ru/1979/04/ploshchad_poverhnosti_po_minko.htm Площадь поверхности по Минковскому] // [[Квант (журнал)|Квант]].&nbsp;— 1979. №&nbsp;4.&nbsp;— С.33—35.</ref>.
 
== Площа в аналітичній геометрії ==
Рядок 215 ⟶ 233:
* [[Площа поверхні]],
* [[Поверхневі інтеграли]].
 
== Виноски ==
{{references}}
 
== Посилання ==
{{reflist|2}}
* ''Рохлин В. А.'' [http://www.mccme.ru/free-books/djvu/encikl/enc-el-5.htm Площадь и объём.] Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия.
 
== Джерела ==
* {{книга |Заголовок = Энциклопедия элементарной математики|частина= [http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-5.htm Геометрия] |посилання = |відповідальний = Под редакцией [[Александров Павло Сергійович|П. С. Александрова]], А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина|місце = М. |видавництво = Наука |рік = 1966|сторінок = 624|том=5|ref = Энциклопедия элементарной математики, кн. 5}}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=[[Фіхтенгольц Григорій Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]|заголовок=Курс дифференциального и интегрального исчисления |посилання = http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Fihtengolc_t2_1964ru.djvu| місце=М. |видавництво = Наука |рік=1964 |сторінок=600 |том=2 }}{{ref-ru}}
* {{книга |заголовок = История математики: в 3 т.|частина = [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времён до начала Нового времени] |посилання = |відповідальний = Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |місце=М. |видавництво=Наука | рік=1970 |том=1 |сторінок = 352 |ref = История математики, т. I}}{{ref-ru}}
* {{книга |заголовок=История математики: в 3 т. |частина = [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия] |посилання = |відповідальний = Под редакцией А. П. Юшкевича |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1970 |том=2 | сторінок= 300|ref = История математики, т. II}}{{ref-ru}}
* {{Книга |автор = Boyer C. B., Merzbach U. C. |заголовок = A History of Mathematics|ссылка = http://books.google.ca/books?id=BokVHiuIk9UC&source=gbs_navlinks_s | рік = 2010 |видавництво = John Wiley & Sons |сторінок = 640 |ref = Boyer & Merzbach}}{{ref-en}}
 
 
[[Категорія:Геометрія]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Площа