Вікіпедія

Натуральне число: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м 0 не є натуральним числом.
Мітки: перше редагування Візуальний редактор
Рядок 1:
[[Файл:Three apples.svg|right|thumb|Натуральні числа можуть використовуватись для лічби (одне яблуко, два яблука, три яблука, …).]]
'''Натура́льні чи́сла'''&nbsp;— [[числа]], що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 0, 1, 2, 3, 4, … [[множина|Множину]] натуральних чисел прийнято позначати [[знак]]ом <math>\N.</math>
 
Існують два основних [[підхід|підходи]] до [[означення]] натуральних чисел:
* числа, що використовуються при '''лічбі предметів''' (''перший'', ''другий'', ''третій''…)&nbsp;— підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є [[аксіома]]тичне описання системи натуральних чисел за допомогою [[аксіоми Пеано|аксіом Пеано]].
* числа для '''позначення кількості предметів''' (''відсутність предметів'', ''один предмет'', ''два предмети''…)&nbsp;— підхід, прийнятий у роботах [[Ніколя Бурбакі]], де натуральне число означається як [[потужність множини|потужність]] [[скінченна множина|скінченних множин]]; при такому підході, як правило, 0 відносять до натуральних чисел.
 
[[Від'ємне число|Від'ємні]] та, [[дробові числа]], та число нуль не є натуральними числами.
 
Натуральні числа можна записувати за допомогою десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,
 
Множина натуральних чисел є [[нескінченна множина|нескінченною]]: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.
Рядок 24 ⟶ 26:
Важливим кроком у розвитку поняття натурального числа є усвідомлення [[нескінченність|нескінченності]] натурального ряду чисел&nbsp;— потенційної можливості його безмежного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам'ятниках античної математики ([[III століття до н.е.]]), у працях [[Евклід]]а й [[Архімед]]а. У «Началах» Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості [[просте число|простих чисел]], а у книзі Архімеда «Псаміт»&nbsp;— принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за «число піщинок у світі».
 
[[Нуль (число)|Нуль]] не є натуральним числом, оскільки не використовується для лічби предметів та може використовуватися лише для позначення відсутності кількості (множини) предметів. Взагалі, нуль є числом парним, цілим, раціональним, дійсним. Нуль, до речі, не є ні додатнім, ні від'ємним числом.
[[Нуль (число)|Нуль]], спочатку означав відсутність числа; він став розглядатися як число лише після введення [[від'ємне число|від'ємних чисел]] нуль іноді включають до натуральних чисел).
 
Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час у науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в [[термін]]ах будь-яких простіших понять. Лише в середині [[XIX століття]], під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ [[Математичний аналіз|математичного аналізу]]&nbsp;— з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.
Рядок 104 ⟶ 106:
* [[Додавання]]: [[доданок]] + доданок = [[сума]].
* [[Множення]]: [[множник]] <math>\cdot\,</math> множник = [[добуток]]. Крім знака <math>\cdot\,</math>, для позначення множення використовується знак <math>\times\,</math> або відсутність знака (у випадку, коли це не спричинює двозначності запису).
* [[Віднімання]]: [[зменшуване]] <math>-\,</math> [[від'ємник]] = [[різниця]]. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник (а якщо 0 відносити до натуральних чисел, до допустима також рівність зменшуваного та від'ємника). За означенням, <math>a-b=c\,</math>, якщо <math>a = b+c\,</math>.
* [[Ділення]]: [[ділене]] / [[дільник]] = [[частка]]. За означенням, <math>a/b=c\,</math>, якщо <math>a = bc\,</math>. Ділення може позначатися також горизонтальною рискою (ділене зверху, дільник знизу) або двокрапкою. У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних і навіть цілих чисел (див. [[Подільність]]). Тому запроваджується також інша операція.
* [[Ділення з остачею]]: ділене / дільник = (частка, [[остача]]). За означенням, ділене = ''a'', дільник = ''b'', частка = ''q'', остача = ''r'', якщо <math>a = bq + r\,</math>, <math>0\leq r<b\,</math>. Для натуральних чисел дільник має бути меншим за ділене. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для частки й остачі&nbsp;— це натуральні числа та 0.
 
Операції додавання та множення є основними, а інші означаються через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо також, що додавання та множення є ''замкненими'' операціями у множині натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Натуральне_число