Гільбертів простір: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
Yurchor (обговорення | внесок) м →Рівність Парсеваля: правопис |
||
Рядок 71:
Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math> — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>
:<math>\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),</math>
де сума розповсюджується на всі елементи
Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні [[ряди Фур'є|рядів Фур'є]] неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:
Рядок 77:
:<math>2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad</math> де
:<math>a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1</math> — [[коефіцієнти Фур'є]] дійсної функції <math>f(x), -\pi\leq x\leq\pi.</math> За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції <math>\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\Z\}</math> утворюють ортонормальний базис у
== Див. також ==
| |||