Комплексне число: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 132:
== Узагальнення ==
Процедура розширення множини <math>\mathbb{R}</math> в <math>\mathbb{C}</math> називається [[Процедура Келі-Діксона|процедурою Келі-Діксона]]. Цю процедуру можна застосувати і до самих комплексних чисел, розширюючи їх множини до [[кватерніони|кватерніонів]] <math>\mathbb{H}</math> , [[октоніон|октоніонів]] <math>\mathbb{O}</math> і [[седеніон]]ів <math>\mathbb{S}</math>.
Проте, застосування процедури до поля дійсних чисел призводить до втрати ним властивості [[Впорядковане поле|впорядкованості]], а при подальшому узагальненні втрачаються і деякі інші властивості - так, квартеніони втрачають властивість комутативності множення (таким чинов, множина кватерніонів є [[Тіло (алгебра)|тілом]]), а октоніони - властивість асоціативності множення.
<math>\ |ab| = |a|\cdot|b|</math> (більш того, окрім <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\mathbb{H}</math> і <math>\mathbb{O}</math> таких алгебр не існує).
Інший спосіб розширення пов'язаний з матричним представленням комплексних чисел - буль яке число <math>w</math> може бути співвіднесене з матрицею
:<math>
\begin{pmatrix}
\operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\
\operatorname{Im}(w) & \;\; \operatorname{Re}(w)
\end{pmatrix}
</math>
Але це не єдиний вид [[лінійне представлення|лінійних представлень]] комплексних чисел. Будь-яка матриця виду
:<math>J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0</math>
має наступну властивість: <math>J^2 = I</math>, де Ι - одинична матриця. Таким чином, конструкція виду
:<math>\{ z = a I + b J : a,b \in R \}</math>
також є ізоморфною полю <math>\mathbb{C}</math>, і породжує альтернативну структуру на полі <math>\mathbb{R}^2</math>. Ці структури можна узагальнити і формі комплексних структур на дійсному лінійному просторі.
[[Гіперкомплексні числа]] є ще одним способом генералізації комплексних чисел - наприклад, [[подвійні числа]] виду <math>\ a + bj,</math> де <math>\ a,b</math> — [[дійсні числа]]; <math>\ j</math> — [[уявна одиниця]], така що<math>\ j^2 = +1.</math>.
== Історія ==
| |||